Desi risc sa intreb niste chestii probabil stiute de altii , nu ma tem . Incerc sa definitivez anumite chestii in memorie , si trebuie sa am siguranta ca pe foaia de examen scriu niste chestii corecte , nu niste corectitudini inchipuite.

Ajuns la Subiectul IV , la Varianta 68 ( este un subiect relativ usor , insa , dupa parerea mea daca nu stii ce sa scrii degeaba le intuiesti tu , nu vei obtine punctajul cuvenit ).

La punctul c eu am demonstrat intr-un alt fel , si vreau sa ma asigur ca este corecta rezolvarea .
F2(x)>=1/2 , daca inmultim cu 2 si trecem totul in stanga si atasam ecuatia de gradul 2 , ( stim ca a=1 > 0 deci functia are un minim ) , care are valoarea -delta/4*a . Deci , stiind ca aceasta valoare este 1 ( calculam ) si inlocuind , aflam ca aceasta functie este >=1,qed.( Sper ca m-am facut inteles , m-am grabit putin ).
La punctul d , putem la fel de bine sa calculam "brut" , tot aia da , daca nu ai ideile pe care le-ati prezentat voi.

Incepand de la punctul e , ( defapt "buba" exercitiului , impropiu spus , tine de punctul e ) , se complica treaba .
Ni se cere sa demonstram ca F2n(x)>0 . Bun .
Luam F2n(x) = P(n) . Stim ca P(1) = F2(x) adevarat ( de la punctul c ) . Presupunem ca F2n(x)=P(n) , este o afirmatie adevarata , eu am luat sa demonstrez ca si F2(n+1)(x) = P(n+1) ar fi adevarata . Stim de la punctul b ca F2(n+1)(x) = x^(2n+2)/(2n+2)! + F2n(x). Cum stim ca n este un numar natural nenul , din enunt , si am presupus ca F2n(x)>0 , e foarte usor sa concluzionam ca : (2n+2)>0 ( strict ) si x^(2n+2) ( orice numar real : negativ sau pozitiv , la o putere para 2n+2 , de exemplu , este mai mare ca 0 ). Deci , stiind ca acel raport este mai mare ca 0 ( strict ) si F2n(x)>0 putem concluziona ca si F2n+1(x)>0 , qed . Asa m-am gandit eu , si sper ca rezolvarea sa fie integral corecta .Am vazut ca voi ati prezentat o solutie mult mai "stufoasa" , care include probabil si partea a II-a a punctului e .

Ni se cere sa demonstram ca F2n-1(x) are o solutie unica in R . Daca ar fi strict crescatoare , ( unicitatea solutiei ) , deci injectiva , ( si in plus aceasta tinde de la -infinit la +infinit ) , putem garanta ca are o solutie unica pentru F2n-1(x)=0.
Utilizand punctul b , putem spune ca functia este monotona .
Putem calcula limita la infinit si la - infinit si observam ca ea tinde la la -infinit la +infinit deci este continua ? ( Pot sa spun asta ) . Ce pot sa spun daca o functie tinde de la -infinit la + infinit , deci pe tot domeniul de definitie al functiei ... este una din intrebarile la care nu gasesc inca raspuns.Din astea toate rezulta ca e injectiva, continua , deci are o solutie unica in y=0. Da , cred ca rezolvarea e ori gresita , ori foarte incompleta.

Ca sa finalizez cu punctul f , ca deja v-am umplut cu informatii pe cap , e foarte usor sa spui ca F2007(x) este bijectiva . Ea este strict crescatoare ( pot sa zic direct asta din punctul c sau trebuie sa o mai demonstrez ) , deci este injectiva , si fiind si strict crescatoare de la - infinit la + infinit , imaginea ei acopera tot domeniul de definitie , deci e surjectiva , deci e bijectiva.
La g deja este simplu , deoarece F2008''(x) este F2006(x) care este mai mare ca 0 , demonstrat prin inductie la e .

Concluzie ( ce nu am inteles eu din acest exercitiu , desi s-ar putea sa par mult prea batut in cap ):

1.Cum demonstrez ca functia F2n-1(x) este strict crescatoare ( deci este bijectiva ).
2.Cum demonstrez ca e continua ? Ce inseamna ca limita la infinit este infinit si cea la - infinit este - infinit ?

Sper ca nu am deranjat prea tare , multumesc inca o data !

Nu te-am uitat. Cum suntem foarte ocupati, raspunsurile la aceasta intrebare si la cea despre varianta 66 vor veni in cursul zilei de duminica.

Mersi !

Cand aveti timpul necesar , astept indicatiile.

[Citat] Ajuns la Subiectul IV , la Varianta 68 ( este un subiect relativ usor , insa , dupa parerea mea daca nu stii ce sa scrii degeaba le intuiesti tu , nu vei obtine punctajul cuvenit ). La punctul c eu am demonstrat intr-un alt fel , si vreau sa ma asigur ca este corecta rezolvarea . F2(x)>=1/2 , daca inmultim cu 2 si trecem totul in stanga si atasam ecuatia de gradul 2 , ( stim ca a=1 > 0 deci functia are un minim ) , care are valoarea -delta/4*a . Deci , stiind ca aceasta valoare este 1 ( calculam ) si inlocuind , aflam ca aceasta functie este >=1,qed.( Sper ca m-am facut inteles , m-am grabit putin ).

Metoda aceasta este si ea corecta.

[Citat] La punctul d , putem la fel de bine sa calculam "brut" , tot aia da , daca nu ai ideile pe care le-ati prezentat voi.

Este adevarat merge si prin calcul direct.

[Citat] Incepand de la punctul e , ( defapt "buba" exercitiului , impropiu spus , tine de punctul e ) , se complica treaba . Ni se cere sa demonstram ca F2n(x)>0 . Bun . Luam F2n(x) = P(n) . Stim ca P(1) = F2(x) adevarat ( de la punctul c ) . Presupunem ca F2n(x)=P(n) , este o afirmatie adevarata , eu am luat sa demonstrez ca si F2(n+1)(x) = P(n+1) ar fi adevarata . Stim de la punctul b ca F2(n+1)(x) = x^(2n+2)/(2n+2)! + F2n(x). Cum stim ca n este un numar natural nenul , din enunt , si am presupus ca F2n(x)>0 , e foarte usor sa concluzionam ca : (2n+2)>0 ( strict ) si x^(2n+2) ( orice numar real : negativ sau pozitiv , la o putere para 2n+2 , de exemplu , este mai mare ca 0 ). Deci , stiind ca acel raport este mai mare ca 0 ( strict ) si F2n(x)>0 putem concluziona ca si F2n+1(x)>0 , qed . Asa m-am gandit eu , si sper ca rezolvarea sa fie integral corecta .Am vazut ca voi ati prezentat o solutie mult mai "stufoasa" , care include probabil si partea a II-a a punctului e .

Partea in rosu este incorecta. Corect este

deci toata demonstratia de mai sus cade.

[Citat] Ni se cere sa demonstram ca F2n-1(x) are o solutie unica in R . Daca ar fi strict crescatoare , ( unicitatea solutiei ) , deci injectiva , ( si in plus aceasta tinde de la -infinit la +infinit ) , putem garanta ca are o solutie unica pentru F2n-1(x)=0. Utilizand punctul b , putem spune ca functia este monotona . Putem calcula limita la infinit si la - infinit si observam ca ea tinde la la -infinit la +infinit deci este continua ? ( Pot sa spun asta ) . Ce pot sa spun daca o functie tinde de la -infinit la + infinit , deci pe tot domeniul de definitie al functiei ... este una din intrebarile la care nu gasesc inca raspuns.Din astea toate rezulta ca e injectiva, continua , deci are o solutie unica in y=0. Da , cred ca rezolvarea e ori gresita , ori foarte incompleta.

Nu se poate separa studiul cazurilor impare de cele pare, caci sunt interdependente. Personal nu vad un mod de abordare care sa fie si corect si mai simplu decat cel ce apare in demonstratia noastra.

[Citat] Ca sa finalizez cu punctul f , ca deja v-am umplut cu informatii pe cap , e foarte usor sa spui ca F2007(x) este bijectiva . Ea este strict crescatoare ( pot sa zic direct asta din punctul c sau trebuie sa o mai demonstrez ) , deci este injectiva , si fiind si strict crescatoare de la - infinit la + infinit , imaginea ei acopera tot domeniul de definitie , deci e surjectiva , deci e bijectiva.

Nu prea inteleg ce simplificare incerci. Ceea ce este in rosu este incorect. Ideile sunt cam cele din rezolvarea noastra, ai doar grija sa le redactezi cam ca acolo pentru punctaj maxim.

[Citat] La g deja este simplu , deoarece F2008''(x) este F2006(x) care este mai mare ca 0 , demonstrat prin inductie la e .

Corect!

[Citat] Concluzie ( ce nu am inteles eu din acest exercitiu , desi s-ar putea sa par mult prea batut in cap ): 1.Cum demonstrez ca functia F2n-1(x) este strict crescatoare ( deci este bijectiva ). 2.Cum demonstrez ca e continua ? Ce inseamna ca limita la infinit este infinit si cea la - infinit este - infinit ? Sper ca nu am deranjat prea tare , multumesc inca o data !

Din pacate nu pot simplifica mai mult decat in solutia postata. Si noi initial am avut o solutie mult mai lunga a punctului IV si am facut deja un efort de simplificare.