x^4=(-1±i?3)/2

cum se rezolva ecuatia?

[Citat] Sa se rezolve ecuatia: x^4 = ( -1 ± i?3 ) / 2

Avem doua ecuatii de fapt.
Sa ne legam doar de cea in care avem un + pentru inceput.
(Celalalta ecuatie are drept radacini conjugatele celei de care ne legam.)

Sa incercam impreuna.
Care este scrierea in forma trigonometrica a numarului (cu plus) marcat cu albastru? Unde se afla plasat acest numar in planul complex?

nu am inteles prea bine. forma trigonometrica a numarului?
pai am avea x=cos(-pi/6)+i sin(-pi/6) ? de aici se porneste?

iar x^4= cos(-pi/3)+ i sin(-pi/3) ?

imi cer scuze, am incurcat valorile. x=cos(-pi/3)+ i sin(-pi/3) ,iar x^4 = cos (-4pi/3) + i sin(-4pi/3).

Regret,dar nu am facut asa ceva la scoala, deci nu ma pricep sa dau raspunsul. multumesc mult de ajutor, apreciez sincer, dar mi se pare la un nivel de cunostinte mai ridicat decat cel pe care l-am primit si acumulat eu pana acum.

Nu este nici o problema, ce nu face scoala facem noi aici ad-hoc.
Este bine sa facem pasi mici (dar multi din pacate). Cu pasii mici avem in orice caz mereu claritate asupra modului in care stau lucrurile pana la un punct. Dau eu drumul, care la inceput nu este batut in cuie, ajungem la tel, dar depinzand de greutatile de pe drum.

Sa rezolvam o problema similara. (Facem apoi un ping-pong destul de rapid si toate secretele rezolvarii unor astfel de ecuatii se clarifica repede.)

Care sunt cele patru solutii ale ecuatiei
x^4 = 1 ?

A?i f?cut clasa a 10-a la profilul M1?

Ei, dl gauss incearca sa va treaca prin demonstratia formulei radacinilor de ordinul n ale unui numar complex, pe un caz particular. Foarte dragut din partea dumnealui, dar, ca elev, e mai dificil sa intelegi chiar tot. mai ales cand e vorba de demonstratia unei formule si nu s-a enuntat nici formula.
Pentru elevi, astazi, totul trebuie cat mai pe scurt. Daca le spui formula radacinilor de ordinul n ale unui numar complex(la noi n este 4), ei te cred pe cuvant, fara sa le demonstrezi. )
E destul de complicata si formula in sine,pentru multi elevi, daramite s-o mai si justifici.
Drumul metodic ar fi:
-indicarea formulei
-aplicarea ei pe multe exemple
-abia apoi justificarea ei.
Chiar daca pentru un matematician calea fireasca este exact cea inversa!
Desigur ca in matematica ar trebui justificat totul, dar pentru o minte ne-coapta, de elev de-a 10-a, care, in treacat fie zis, inca are probleme cu minusul din fata fractiei sau cu fractiile supraetajate, sau cu radicalul dintr-o suma, sau, de ce nu, chiar cu (a+b)^2, care la el este egal in mod frecvent cu a^2+b^2, mai ales cand a si b sunt niste radicali.
Pentru un astfel de elev, a vrea sa justifici totul, e prea mult, si il baga in ceata total.
Chiar daca nu prea prezinta castig dpdv al formarii intelectuale, un astfel de elev, mai degraba se descurca daca ii spui doar formula si il pui sa o aplice. va fi chiar bucuros daca ii "iese"! Chiar daca e simpla inlocuire!
Daca ati observat, ptr elevii de azi totul e pe scurt6, telegrafic. Pe mess se scrie cu cat mai multe prescurtari, notitele le iau prescurtat, uneori pe sarite, ei sunt foarte buni la...facut economie.
In cazul de fata, eleva care a intrebat era suficient sa primeasca un raspuns de gen:
-scrii numarul -1/2+i... sub forma trigonometrica
-aplici formula pentru radacinile de ordinul 4.
eventual VEZI MANUAL!!!
Credeti ca are rabdare sa inteleaga cum s-a ajuns la formula pentru radacini??
In fond, daca ne aducem bine aminte, nici noi , cand eram in liceu, nu simteam chiar asa nevoia de a demonstra si justifica chiar totul, in cele mai mici amanunte. Ni se spunea ca exista teorema cutare, formula cutare, o credeam pe cuvant. Abia apoi, prin facultate, a venit obiceiul acesta.
La fel cum poti conduce bine o masina fara sa stii exact cum functioneaza motorul, in detaliu, la fel, poti rezolva exercitii fara sa fie nevoie sa justifici in detaliu formulele aplicate.