Aratati ca functia

nu este analitica dar este diferentiabila de-a lungul dreptei y=x+2.

Functia data este evident o functie polinomiala, deci este diferentiabila
* peste IR *
i.e. ca functie de la IR^2 la IR^2 .

Pentru a vedea ca nu este complex diferentiabila, trebuie sa calculam diferentiala si sa vedem ca nu dam de o matrice de forma

[ a b ]
[ -b a ]

care corespunde unei operatii liniare de multiplicare cu numarul complex a+ib.
Este exact ce vor relatiile Cauchy-Riemann,
http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Riemann_equations
si este ceea ce vrea acest exercitiu de la noi.

Verificam ecuatiile Cauchy-Riemann:

Cum

e diferit de

rezulta ca functia nu respecta ecuatiile C-R, deci nu e analitica.

Nu prea inteleg ce inseamna diferentiabil in complex. E acelasi lucru cu derivabil? Dar diferentiabil de-a lungul unei curbe?

Va multumesc.

[Citat] Verificam ecuatiile Cauchy-Riemann: Cum e diferit de rezulta ca functia nu respecta ecuatiile C-R, deci nu e analitica. Nu prea inteleg ce inseamna diferentiabil in complex. E acelasi lucru cu derivabil? Dar diferentiabil de-a lungul unei curbe? Va multumesc.

Lucrurile acestea ar trebui clarificate in curs, dar daca in curs lucrurile merg foarte formal (probabil) trebuie sa gasim aici locul de discutie.

In primul rand *trebuie* sa ne fie clar ce inseamna urmatoarele lucruri:

O functie definita pe un interval REAL I in jurul lui a cu valori reale este derivabila in a daca exista o anumita limita in IR, anume limita catului de diferente:

( f(x) - f(a) ) / ( x-a )

unde x este diferit de a si tinde la a. Daca asa ceva exista, notam limita cu f'(a) si avem relatia importanta

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + Rest

unde restul...
Aici este bine sa vedem f'(a) ca functia liniara
h -> f'(a) h
de inmultire cu numarul real f'(a) .
Pare stupid la inceput, dar acesta este modul in care se generalizeaza cel mai usor notiunea de diferentiabilitate

O functie
- definita pe o bila din planul real B(a,r) in jurul lui a
- cu valori reale
este derivabila in a daca exista o anumita aplicatie liniara f'(a)
(inmultire cu o matrice)
cu proprietatea ca

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + Rest(x)

unde restul verifica relatia

Rest(x) / |x-a| -> 0
cand x din bila tinde la a .

Acum in loc de valori reale putem lua valori intr-un spatiu vectorial IR^n , atunci functia liniara f'(a) devine o matrice mai mare.

Incercam sa intelegem in sfarsit ce inseamna o functie complex derivabila, considerand ca stim ce inseamna real derivabil pentru o functie

f : (bila complexa) -> C ,

ca mai sus inseamna ca gasim o aplicatie ** IR-liniara ** de la IR^2 la IR^2 pentru care ...

Acum dintre multele aplicatii liniare peste IR unele anume sunt liniare si peste C . Pentru a intelege mai indeaproape, sa rezolvam urmatorul exercitiu:


Consideram C, corpul numerelor complexe (prin functorul uitare de structura) ca un spatiu vectorial peste IR de dimensiune 2 cu baza

{ 1 , i }

Care este fata de aceasta baza matricea aplicatiei de inmultire cu
(a+ib)
unde a, b sunt numere reale (si ne-am adus scurta vreme aminte de multiplicarea complexa) ?


Este un exercitiu important, raspunsul leaga structurile din analiza.
Care este deci raspunsul?

Raspunsul este

( a b )
(-b a )

Excelent, acum relatiile Cauchy-Riemann impun faptul ca derivata de ordinul unu a functiei

f = u + iv

dupa variabilele x,y in z = x+iy sa fie de forma de mai sus.
Deci

este o matrice in care intrarile pe diagonala sunt egale (cu a-ul de mai sus) si in care celelalte doua intrari difera prin semn (fiind b si -b mai sus).

Matricea de mai sus (inmultirea cu ea) este aplicatia liniara care este derivata lui f vazut va functie de la IR^2 la IR^2, si cerem sa "provina dintr-o multiplicare cu un numar complex (a+ib)" .

Asta este totul (intuitiv).
In demonstratie explicam astfel doar directia mai simpla, pentru cealalta trebuie inteleasa in amanunt diferentiabilitatea peste C folosind o definitie analoaga cu cea din lumea reala.