Buna seara
Am urmatoarea lege de compozitie; x * y = x + y + 5
Sa se calculeze:
(-2012)*(-2011)*(-2010)* ..............(2010)*2011)*(2012)
M-am gandit initial sa cuplez pe (-2012) compus cu (2012) dar mai departe nu mai stiu.
Multumesc

[Citat]

Si acum cateva intrebari, deoarece trebuie sa rezolvam impreuna:

- Care este functia f? (Asa pusa intrebarea este o ghicitoare fara nici un fel de indicii ajutatoare. Daca nu se poate ghici nicicum, rog a se vedea daca * este lege de grup, daca da care este elementul ei neutru, acesta trebuie sa corespunda prin morfismul - ipotetic inca - f cu elementul neutru 0 fata de +. Apoi mai luam cateva perechi de elemente inverse fata de *, ele vor corespunde cu elemente inverse fata de + prin f, ghicirea este acum usoara.)

- Care este inversa lui f?

- Cum se "transporta prin f" aplicarea repetata de *-uri intr-o aplicare repetata de +-uri.

- Care este rezultatul din lumea lui plus?

- Care este rezultatul din lumea lui *?

Rog a se incerca cat se poate de mult fara sa intervin...

Exista si un mod stupid de rezolvare care nu face apel la nici un fel de structura algebrica, care se poate formaliza prin inductie. Observam ca * se deosebeste de + prin faptul ca pentru fiecare * mai adunam un 5. Deci rezultatul este "suma numerelor, ca si cand inlocuim fiecare * cu +", la care mai adunam ca bucata de corectura suma 5+5+5+...+5+5+5, unde avem de atatea ori 5-ari de cate ori stelutze in expresia de calculat. Nu recomand acest mod de gandire... dar pe post de colac de salvare sau pentru ascutirea simtului de observatie...

Idea de a grupa bucati de forma (-n) * (+n) = 5 este buna.
Pentru a avea voie sa aplicam asa ceva trebuie inainte de toate sa aratam ca structura ( IR , * ) este un grup comutativ.
Idea conduce apoi imediat la solutie, trebuie sa calculam ceva mai simplu, anume
5 * 5 * ... * 5 * 0 ,
unde avem cate un 5 pentru fiecare pereche (-n), (+n),
la sfarsit trebuind sa ne aducem aminte de faptul ca 0 este nepereche.

Daca calculam cu mana 5, 5*5, 5*5*5, 5*5*5*5, vedem repede formula generala pe care putem sa o demonstram prin inductie.

In fine, mai exista o rezolvare, cea cu calculatorul. Desigur ca nu ma pot abtine:
sage: n = -2012
sage: for k in [ -2011 .. 2012 ]:
....: n = n+k+5 # noul rezultat este in n
....:
sage: n
20120

in legatura si cu ce ati aratat Dvs m-amgandit asa:
5*5=15 5*5*5 = 25 adica 3x10 - 5 5*5*5*5 = 35 adica 4x10 - 5
5*5*5*5*5 = 45 adica 5x10 - 5........
5*5*5.......*5 (de 2012 ori) = 2012x10-5 =20120-5 = 20115
ultima compozitie este 20115*0 = 20115 + zero + 5 = 20120 se pare ca am obtinut rezultatul de la calculator.
O fi bine asa ?

scuze ca nu s-a imprimat cu spatii goale intre expresii eu l-am lasat!

inca o precizare:am verificat comutativitatea si asociativitatea grupului