Buna seara
Am si eu o problema:
se considera multimea M = { a b } / a, b din Z7 cu
{ b a }
matricea
4^ 3^ (senifiatia cu caciuli)
B = sa se rezolve ecuatia X la puterea 6 = B
3^ 4^
multumesc scuze pentru trsnscrierea textului

[Citat] Buna seara Am si eu o problema: se considera multimea M = { a b } / a, b din Z7 cu { b a } matricea 4^ 3^ (senifiatia cu caciuli) B = sa se rezolve ecuatia X la puterea 6 = B 3^ 4^ multumesc scuze pentru trsnscrierea textului

Nu se în?elege nimic din ce a?i scris.
Dar, de curiozitate, ce înseamn? "senifiatia"?

Vin pe cat pot in intampinare, dar probabil ca trebuie cumparata o tastatura noua.

[Citat] Buna seara Am si eu o problema:

Sa incercam impreuna, cateva intrebari ne vor duce in acelasi timp impreuna la liman.

- Care este determinantul lui B ?
- Daca X este solutie a ecuatiei date, care este determinantul lui X ?
- Care sunt matricile din M cu determinant care intra in discutie ?
- Am notat mai sus cu S(a,b) matricea cu intrarile a,b; b,a. Sa se arate ca aplicatiile urmatoare sunt morfisme de "semigrupuri" (unde M este semigrup fata de inmultirea matricilor si Z / 7 fata de inmultirea claselor de resturi modulo 7):
M -> Z / 7 care trimite S(a,b) -> (a+b) si
M -> Z / 7 care trimite S(a,b) -> (a-b) .
- Daca X^6 = B este o solutie si aplicam cele doua morfisme de mai sus ce obtinem? Ce ecuatii trebuie si ajunge sa rezolvam in Z / 7 in locul ecuatiei date din structura mai complicata M?
- Care sunt solutiile?

Imi cer scuze/Este adevarat ca s-a inregistrat o aiureala dar eu tastez ceva si se inregistreaza altceva.
Asa ca voi relua:
Se considera multimea M = O matrice astfel: linia 1: a b linia 2: b a cu proprietatea ca a, b apartin lui Z7.
Se mai da matricea B = linia 1 : 4 3 linia 2 : 3 4
Sa se rezolve ecuatia : x^6 = ( matricea B );.
PRECIZARI: matricea M are 2 linii si 2 coloane, matricea B la fel.
Toate notatiile sant cu caciuli(adica a, b, 3, 4)
Sper ca acum este bine?
multumesc mult scuze!

Si eu am trimis din greseala... (Butoanele de LATEX si Raspunde sunt atat de apropiate...)
Sa incercam asadar repede impreuna punct dupa punct...

pai..
detB = ZERO,iar det X = linia 1 a b
linia 2 b a
mai departe....nu mai stiu!
ma ajutati Dvs?
multumesc

Determinantul are o proprietate importanta:
Daca A,B sunt doua matrici patrate cu intrarile intr-un inel (de exemplu IR sau Z / 7), atunci are loc relatia:

det(AB) = det(A) . det(B)

- in cuvinte, determinantul produsului este produsul determinantilor.

Desigur ca putem lua repede mai multe matrici si avem aplicand pentru cate "doua bucati"

det( ABCDEF )
= det( A BCDEF )
= det( A ) det ( BCDEF )
= det( A ) det ( B CDEF )
= det( A ) det ( B ) det( CDEF )
= ...

deci nu trebuie sa avem doar "doua bucati", expresia " determinantul produsului este produsul determinantilor " este valabila si pentru mai multe matrici...

Ce putem face daca aplicam det pe
X^6 = B
?

ajung de fapt la (det X)^6 = det B = zero deci det X =zero.
Si mai departe?
Nu imi dau seama ce trebuie sa fac....

am mers mai departe si am aflat ca:
daca det X =0 aceasta inseamna ca a = b deci putem scrie ca

X = o matrice patrata cu a peste tot
atunci merg din aproape in aproape si calculez:

X^2 = X ori X = (se inmultesc doua matrice care au a peste tot ) si rezulta o matrice egala cu 2a inmultit cu matricea patrata cu a peste tot adica 2a X
Mergand asa calculez X^3 egala cu (4a^2)X, X^4 = (a^3)X , X^5 = (2a^4)X si in sfarsit
X^6 = (4a^5)X

si intr-adevar rezulta ca 4a^6=4 deci a = 1 si 4a^5b = 3 respectiv a^5b= 6 (sau -1) de unde rezulta sase solutii.
Cred ca asta e rezolvarea multumesc mult pentru indicatii!

Nu chiar...
Pentru a vedea cum stau lucrurile am dat drumul la un mic programel in sage.
Chiar daca codul pare astronautic la o prima vedere, el poate fi inteles cat de cat. In orice caz, multimea solutiilor este repede gasita si un jalon de verificare.


sage: R = IntegerModRing(7)
sage: R
Ring of integers modulo 7
sage: R.list()
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]
sage: # Aceasta este lista elementelor lui R
sage: len( R.list() )
7
sage: # Deci inelul (ring) R are 7 elemente, cele de mai sus.

sage: B = matrix( R,2,2, [ 4,3, 3,4] )
sage: M22 = B.parent()
sage: M22
Full MatrixSpace of 2 by 2 dense matrices over Ring of integers modulo 7
sage: # Deci in M22 este intreg spatiul de matrici 2x2 cu elemente in R, el are 7^4 elemente
sage:
sage: M = [ X for X in M22.list() if X[0,0] == X[1,1] and X[1,0] == X[0,1] ]
sage: len(M)
49
sage: # Deci in M este spatiul de matrici 2x2 cu elemente in R cu matrici ca in problema.


sage: for X in M:
....: if X^6 == B:
....: print "\nAm dat de o noua solutie:\n", X
....:

Am dat de o noua solutie:
[6 1]
[1 6]

Am dat de o noua solutie:
[5 2]
[2 5]

Am dat de o noua solutie:
[4 3]
[3 4]

Am dat de o noua solutie:
[3 4]
[4 3]

Am dat de o noua solutie:
[2 5]
[5 2]

Am dat de o noua solutie:
[1 6]
[6 1]
sage: