4. Fie A= 7^2009+3^2009 si B=7^n-3^n, n numar N
Aratati ca A divizorul lui 10
Aflati restul impartirii numarului 2A+5B la 10.

[Citat] 4. Fie n un numar natural fixat. Fie numerele A = 7^2009 + 3^2009 si B = 7^n - 3^n . Aratati ca A se divide cu 10 . Aflati restul impartirii numarului 2A + 5B la 10.

Cred ca problema este cea de mai sus.

Ne uitam la A mai intai.
Puterile lui 7 sunt urmatoarele (primele cateva dintre ele):

sage: [ 7^n for n in [1..12] ]
[7, 49, 343, 2401, 16807, 117649, 823543, 5764801, 40353607, 282475249, 1977326743, 13841287201]


Cer scuze pentru folosirea computerului, dar am vrut sa arat numerele ca sa stim exact cum stam din punct de vedere psihologic. Problema nu vrea asa ceva de la noi. Vrea doar o divizibilitate cu 10. Deci vrea un calcul al ultimei cifre al lui A.
A ne este definit ca suma a doua "parti". Ne legam de parti. O parte este o putere a lui 7. Este o putere mare, dar noi incercam sa intelegem puterile in general, ne prindem atunci de o anumita regula pe care o putem aplica in cazul special. (Acest procedeu de rezolvare mai simpla a problemei mai complicate apare des in matematica, in viata si mai des, candva trebuie perceput.)

Ne uitam din nou in lista de mai sus si anume cu atentie la ultima cifra.
Aceaste este pe rand:
sage: [ 7^n % 10 for n in [1..12] ]
[7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1]
(Cer scuze, din nou am programat, mi-a fost mai usor decat sa tiparesc.)
Important este sa se vada ultima cifra si faptul ca ea "se repeta din patru in patru (pasi)".

De ce? Deoarece pentru a trece de la un pas la altul inmultim ultima cifra cu 7 si luam ultima cifra. De exemplu, cand am trecut de la 343 la 2401 am facut la nivel de a V-a operatia:

343 x 7 =
-----------
? ? ? 1

si prima oara l-am scris pe acel 1 (de la 3x7 = 21), l-am zinut pe doi minte... dar ce sa mai tinem minte. Avem deja ultima cifra si doar aceasta ne mai intereseaza.

La fel facem si cu puterile lui 3, ele au pe rand ultima cifra:
sage: [ 3^n % 10 for n in [1..12] ]
[3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1]
(...stiu, nu ma pot abtine...)
si acum punem unele sub altele rezultatele:

[7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1] < --- puteri ale lui 7 pe rand
[3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1] < --- puteri ale lui 3 pe rand

Este clar ca daca adunam acum numerele, vom aduna pe rand ultima cifra... cu ultima cifra... si dam... in multe cazuri de 0 ca ultima cifra. Cum stau lucrurile la noi?
La noi nu este unul din pasii al 2-lea, 4-lea, al 6-lea, al 8-lea, al... , al 2008-lea, al 2010-lea, al 2012-lea, ...
Deci suma celor doua parti se divide cu 10.


Ne legam acum de numarul 2A + 5B si vrem sa ii intelegem ultima cifra.
Numarul A se termina cu 0 (este deci divizibil cu 10), deci si 2A se termina cu 0 (este divizibil cu 10).

Numarul B este in primul rand un numar par deoarece este facut din doua parti impare... El se divide cu 2.
De aceea numarul 5B se divide si cu 2 si cu 5, deci se divide cu produsul 2x5 = 10. Ultima lui cifra este 0.

De aceea suma 2A + 5B ...