[Citat]
Asa este acstea sant solutiile sistemului omogen dar din pacate m-am blocat la rationamentul in continuare.
Nu stiu de unde a rezultat matricea T si apoi in continuare?
Daca aveti timp puteti sa imi mai dati niste lamuriri suplimentare?
Multumesc mult pentru bunavointa |
Mai intai acea matrice T.
Mai sus am vazut ca primei valori proprii ii corespunde vectorul propriu cu elementele (scrise ca vector coloana):
[1]
[0]
[-1]
Aceasta este doar o alegere, multe alte alegeri sunt posibile,toate obtinute inmultind cele de mai sus cu un scalar. Ei bine, acest vector propriu al primei valori proprii l-am pus pe prima coloana a matricii T.
Am stiut de cand l-am pus ca trebuie sa il mai schimb pentru a da de o transformare ortogonala, dar asa mi-a fost cel mai usor sa documentez vectorii proprii la o prima alegere. Ceilalti vectori proprii sunt celelalte coloane.
Mai trebuie doar sa normam acesti vectori, fiecare trebuie sa devina de norma 1.
Deci in loc de
[1]
[0]
[-1]
cautam un scalar "a", astfel incat daca inmultim vectorul de mai sus cu "a" sa dam de un vector
[a]
[0]
[-a]
de lungime 1. Desigur ca "a" este usor de ales ca unu supra norma vectorului
[1]
[0]
[-1]
(sau supra minus norma), iar norma este radical( 1+0+1 ) = radical(2) .
Asa s-a obtinut la sfarsit matricea de schimbare de baza ortogonala.
Daca sunt intrebari, cu incredere.
In primul rand trebuie inteles ce se face pentru a face problema si a aduna toate punctele. Apoi ar fi bine sa se inteleaga (macar cu jaloane mari) de ce merge algoritmul de diagonalizare. Puncte importante sunt:
- pentru o matrice reala simetrica, vectori proprii fata de valori proprii diferite sunt ortogonali, i.e. au produs scalar nul, de exemplu daca v,w sunt vectori proprii pentru valorile proprii s,t ale matricii simetrice A (A=A', A este A transpusa), atunci
Av = sv
Aw = tw
s<v,w> = <sv,w> = <Av,w> = <v,A'w> = <v,Aw> = <v,tw> = t<v,w> ,
ne uitam la inceput si la sfarsit si vedem ca (s-t) <v,w> = 0, deci <v,w> = 0, deoarece s si t sunt valori (proprii) diferite.
- Inmultirea in bloc a matricilor ajuta la intelgerea plasarii coloanelor matricii de schimbare de baza. De exemplu, daca r,s,t sunt valori proprii ale matricii A si u,v,w vectori proprii corespunzatori, ne uitam la
Au = ru
Av = sv
Aw = tw
si asamblam matricea bloc
[ u v w ]
a fi matricea cu coloanele u,v,w. Ei bine, inmultirea matricilor "bloc" se face ca si inmultirea matricilor normale cu conditia ca sa avem compatibilitatea blocurilor. In cazul nostru:
A [u v w]
= [ Au Av Aw]
= [ r.u s.v t.w ]
= produsul dintre matricea bloc
[ u v w ]
si matricea diagonala
[ r 0 0 ]
[ 0 s 0 ]
[ 0 0 t ]
Daca notam acum cu T matricea [ u v w ], dam de o relatie de forma
A T = T D
unde D este matricea diagonala de mai sus.
(Un curs ar trebui sa faca clar acest lucru, nu sa il ascunda in formule abstracte. Cel tarziu exercitiile ar trebui sa ajute la intelegerea mecanisumului, dar pentru aceasta exercitiile trebuie sa vina cu pasii care trebuie si mai ales cu matrici mai digestibile.)
In astfel de cazuri recomand folosirea calculatorului mai ales pentru astfel de probleme care mananca fara rost din timpul de viata al omului fara a da un castig in intelegere.
Access general
Conţine mesaje necitite
