Buna ziua
Revin si eu cu o problema de geometrie:
se considera dreptele urmatoare:
d1 : (x-1)/2 = (y+1)/3 = z/1 si d2: 4x+3y-z = 0 si x- 2y + 2z =0
Se cere:
a)Stabiliti pozitia relativa a dreptelor d1 si d2
b)scrieti ecuatia perpendicularei comune a dreptelor d1 si d.
c)gasiti distanta intre d1 si d2
multumesc

[Citat] Se considera dreptele urmatoare: d1 : (x-1)/2 = (y+1)/3 = z/1 si d2: 4x+3y-z = 0 si x- 2y + 2z =0 Se cere: (a) Stabiliti pozitia relativa a dreptelor d1 si d2. (b) Scrieti ecuatia perpendicularei comune a dreptelor d1 si d2. (c) Gasiti distanta intre d1 si d2.

Sa incercam impreuna.
(a)
Din ecuatia lui d1 facem rost repede de forma parametrica.
Sa zicem ca avem
(x-1)/2 = (y+1)/3 = z/1 = a, unde a este un parametru real.

Dam de
x = 2a + 1
y = 3a - 1
z = a

Deci (x,y,z), vectorul de pozitie al unui punct plimbaret pe (d1) are forma
(x,y,z) = (1,-1,0) + a(2,3,1) .

Avem astfel un vector de pozitie, un punct special pe dreapta (cel pentru a=0) si directia dreptei, (2,3,1).

Desi se poate si mai simplu, propun sa calculam ecuatia parametrica a dreptei d2, rezolvam pur si simplu sistemul de cele doua ecuatii in cele trei necunoscute x,y,z. Ce solutie (generala) obtinem?

voi incerca astfel deci:
eliminand pe z din ecuatiile dreptei d2 obtinem:
y= (-9/4)x si din prima dreapta din (x-1)/2 = (y+ 1)/3 rezulta y = (3/2)x - 3/2
deci pantele celor doua drepte sant m1 =3/2 si respectiv m2 =-9/4.
Relatia dintre cele doua pante ar fi deci m1 = -m2^2 adica tg(a)= - tg^2(b) unde unghiurile a si b sant unghiurile celor doua drepte.
Aceasta ar fi relatia care indica pozitia intre cele doua drepte.
Nu stiu daca este bine?

[Citat] voi incerca astfel deci: eliminand pe z din ecuatiile dreptei d2 obtinem: y= (-9/4)x si din prima dreapta din (x-1)/2 = (y+ 1)/3 rezulta y = (3/2)x - 3/2 deci pantele celor doua drepte sant m1 =3/2 si respectiv m2 =-9/4. Relatia dintre cele doua pante ar fi deci m1 = -m2^2 adica tg(a)= - tg^2(b) unde unghiurile a si b sant unghiurile celor doua drepte. Aceasta ar fi relatia care indica pozitia intre cele doua drepte. Nu stiu daca este bine?

Nu este chiar (totul) bine, dar asa stiu pe ce drum sa incerc sa explic.
In primul rand eliminarea a fost foarte buna.

Dupa ce stim ca x/4 = y/(-9) luam aceasta valoare comuna si o notam cu un parametru, sa zicem b (pentru ca a este ocupat cu prima parametrizare).

Deci x/4 = y/(-9) = b, de unde
x = 4b ,
y = -9b ,
de unde mai departe, inlocuind in z = 4x+3y dam de z = 16b - 27b = -11b . Scriem si
z = -11b ,
inlocuim si in a doua ecuatie doar ca o mica verificare,
x - 2y + 2z = 4b +18b -22b = 0, e bine.

Am dat de parametrizarea celei de-a doua drepte.
Cele doua drepte "arata" deci cam asa:

(d1) : (x,y,z) = (1,-1,0) + a(2,3,1)
(d2) : (x,y,z) = (0,0,0) + b(4,-9,-11)

Cum "vedem o astfel de dreapta"?
Dreapta (d1) ne-o imaginam asa. Desenam reperul cartezian in spatiu Oxyz. Luam in el punctul (1,-1,0). Ca la fizica desenam de aici (cu aceasta extremitate) vectorul de directie (2,3,1). Ei bine, (d1) este dreapta de aceasta directie prin punctul (1,-1,0). (O dreapta este determinata de doua puncte. Cele pe care le alegem sunt cele pentru a=0, a=1. Dar mai important este sa vedem un punct si directia!)

Directiile celor doua drepte sunt (2,3,1) si (4,-9,-11).
Cele doua directii nu sunt "una si aceeasi", deoarece cei doi vectori nu sunt "pe aceeasi dreapta din origine". (Dar (2,3,1) si (4,6,2) ar fi... Trebuie putin intelese directiile.)

Un lucru este foarte bun cand facem geometrie analitica cu drepte.
Toate constructiile, proprietatile geometrice se traduc algebric.

De exemplu, cele doua drepte nu sunt paralele deoarece ele nu au aceeasi directie. Ele nu se intersecteaza, deoarece sistemul cu 3 ecuatii (cele 3 componente) si cu doua necunoscute (a si b) dat de "incercarea de a intersecta",

(1,-1,0) + a(2,3,1) = (0,0,0) + b(4,-9,-11)

nu are nici o solutie. (A treia ecuatie este 0+a = 0-11b, deci a=-11b, inlocuim, ...) Deci cele doua drepte stau in pozitie generala in spatiu.


(b) Trecem la punctul (b), am o prima rugaminte.
Suntem ca la fizica.
Avem doua directii, (2,3,1) si (4,-9,-11).
Cautam o directie perpendiculara pe ambele!
Cum arata o astfel de directie, sa zicem ca o numim cu (m,n,p).

Vrem deci perpendicularitatile ( _|_ )
(2,3,1) _|_ (m,n,p)
si
(4,-9,-11) _|_ (m,n,p) .

De fiecare data produsul scalar trebuie sa se anuleze. In primul caz dam de ecuatia
2m + 3n + p = 0 .
In al doilea...

Care este deci unul din vectorii perpendiculari pe ambele directii?!
Avem un sistem de doua ecuatii (cele doua perpendicularitati) si 3 necunoscute, m, n, p.
(Daca stim fizica si intelegem produsul vectorial...)

Apoi mai vedem...