Este arhicunoscuta problema determinarii celui mai mare termen al unei dezvoltari cu binomul lui Newton.
Ea e prezentata in manuale in 2 moduri:
-unul corect si complet, in care se calculeaza raportul a doi termeni succesivi, si se compaara cu 1, pentru a vedea unde se schimba monotonia
- a-2-a varianta, in care se noteaza cu T_{k+1} termenul cel mai mare, se pun si rezolva conditiile T_{k+1}>=T_k si T_{k+1}>=T_{k+2} gasind valoarea lui k.
Totusi varianta a doua are o mica scapare , exclude cazul cand termenul maxim e la extreme, ori primul, ori ultimul, dar in acest caz cel mai probabil cu conditiile de mai sus nu gasim niciun k.
Cum e mai bine de explicat la elevi?

Nu stiu daca este vorba despre dezvoltarea (1+1)^n sau poate de dezvoltarea binomului (a+b)^n unde a,b > 0.
Probabil ca putem la clasa lua - fara a restrange generalitatea -
mai intai a mai mare sau egal cu b...
si apoi pe b=1.

Daca avem de lucru cu binomul (1+1)^n (si e bine sa avem pentru inceput de lucru cu acest binom, nu strica, intotdeauna trebuie oferit un exemplu de inceput la care fiecare elev sa poata face activ ceva), atunci nu sunt probleme in nici unul din cazuri.

La extreme avem mereu valorile 1 si 1...

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1

Este clar ca la mijloc vor fi mereu termeni neaparat mai mari decat 1.
Poate ca este bine sa se deseneze triunghiul lui Pascal mai intai, elevii au sansa sa isi formeze singuri pareri despre strategia de demonstrare.
(Vor ochi din prima locul cu cei mai mari coeficienti binomiali.)
Probabil ca elevii vor vedea ca depinzand de paritate avem "la mijloc" unul sau doi coeficienti binomiali cu valoare maxima. Pana la acest mijloc avem o continua crestere (usor de demonstrat inductiv), dupa ei o continua descrestere (simetrie). Cand sunt doi, cum este cu 3 3 in 1 3 3 1, e clar ca la pasul urmator avem valoarea maxima cand ii adunam (in triunghiul lui Pascal), dam de 6=3+3 maximal in randul urmator. Cand este unul singur, ca acel 6 din 1 4 6 4 1, este clar ca in randul urmator avem doi coeficienti maximali obtinuti facand calculele 4+6 si 6+4.

Apoi m-as lega de (a+1)^3 in cazul in care a=1000 . (Si apoi in cazul cu a = 0.0001, desi contrazicem usor presupunerea cu a mai mare sau egal cu 1.)

Apoi as trece la cazul general.
Cu ambele metode de cautare a maximului avem nevoie sa avem grija de capete.
(In primul caz numai de capatul din dreapta, dar daca a este mai mare sau egal cu 1...)

Prima variant?, desigur.
De exemplu, o problem? clasic?, din Ni??-N?st?sescu cere s? se afle m astfel ca al zecelea termen al dezvolt?rii

sa fie cel mai mare.

Sigur, punem conditiile T_10>T_9 si apoi T_10>T_11, si determinam n.
Nu e suficient.