Buna seara
Avand in vedere explicatiile deosebit de clare ale d-luiprof.Gauss il rog daca are timp sa imi arate si mie ce inseamna signatura (la un exemplu concret de forma patratica)si cu ce este egala ea.
multumesc

Signatura unei forme patratice este un invariant important.

In dimensiune 2 (si cu variabilele x,y doar) avem urmatoarele exemple de forme patratice:

signatura ( 0+, 0-, 2 ori degenerare) : pentru f(x,y) = 0 .

signatura ( 1+, 0-, o degenerare) : pentru f(x,y) = x^2 .

signatura ( 0+, 1-, o degenerare) : pentru f(x,y) = -x^2 .

signatura ( 2+, 0-, nici o degenerare) : pentru f(x,y) = x^2 + y^2 .
signatura ( 1+, 1-, nici o degenerare) : pentru f(x,y) = x^2 - y^2 .
signatura ( 0+, 2-, nici o degenerare) : pentru f(x,y) = -x^2 - y^2 .

Signatura se calculeaza pe scurt astfel (macar pe exemplele de mai sus).
Se aduce forma patratica la o forma canonica.
Avem o suma de patrate in care apar coeficientii +1, -1 si 0.

Numaram de cate ori apare +1, de cate ori apare -1 si de cate ori avem un 0.
http://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_form
(A se cauta signature pe aceasta pagina.)

In mai multe variabile, in 3 sa zicem putem avea atatea signaturi cate moduri de a-l descompune pe 3 in partile n(+), n(-) si n(0).

Acestea sunt
0+0+3

1+0+2
0+1+2

2+0+1
1+1+1
0+2+1

3+0+0
2+1+0
1+2+0
0+3+0

In aplicatii signatura se calculeaza foarte repede in modul urmator.
Se ia matricea A a formei patratice.
Se asociaza polinomul caracteristic al ei.
Daca avem trei componente (x,y,z), avem o matrice 3x3 si un polinom de grad 3.
Ne uitam ce radacini are, nu exact ci doar:
- cate sunt >0, numarul lor este n(+),
- cate sunt <0, numarul lor este n(-),
- cate sunt =0, numarul lor este n(0).
Gata.

Exemplu:
Forma patratica in x,y (doua variabile) data de f(x,y) = 8xy are matricea
[ 0 4 ]
[ 4 0 ]
polinomul caracteristic (in t pentru ca lambda e prea greu de scris)
tt - 16 = (t+4)(t-4),
radacinile sunt -4, si 4,
avem n(+) = 1, o radacina (+4) este >0,
avem n(-) = 1, o radacina (-4) este <0,
avem n(0) = 0, nici o radacina nula.

Pentru matricea mai complicata de pe http://www.pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=8&ID=40517
anume

se procedeaza asa. Se ia fierul de calculat si se calculeaza polinomul caracteristic, se cer radacinile aproximative...

(20:39) gp > A = [ 1,7,33; 7,5,-2; 33,-2,-12 ]
%3 =
[1 7 33]
[7 5 -2]
[33 -2 -12]

(20:40) gp > charpoly(A)
%4 = x^3 + 6*x^2 - 1209*x + 5845

(20:40) gp > polroots(%)
%5 = [
-39.93717463418261632012423413 + 0.E-28*I,
5.069928334598856557528442487 + 0.E-28*I,
28.86724629958375976259579164 + 0.E-28*I
]~

Deci avem doua radacini >0 si una <0. Signatura este
( n(+), n(-), n(0) ) = ( 2,1,0 )

Desigur ca putem stabili si cu mana cam cum stau lucrurile (chiar si in acest caz complicat). In primul rand stim ca avem trei valori proprii reale ale matricii simetrice A, deci polinomul de mai sus trebuie sa aibe trei radacini reale.

Deoarece polinomul ia in 0 valoarea 5845 stim ca avem

- fie exact o radacina <0 (si celelalte doua >0), atunci functia de gradul III de mai sus are o "meandra" in partea negativa a graficului

- fie exact trei radacini <0 (si nici una >0), atunci functia de gradul III de mai sus are o "meandra" in partea negativa a graficului.

(Vieta ne poate ajuta de asemenea.)

Derivam si vedem unde putem avea meandra...
Derivata este 3 x^2 + 12 x - 1209 = 3( xx + 4x - 403 )
si putem sa ii cercetam semnul.
Ea urca (de la -oo) pana undeva inainte de 0, coboara apoi pana la zero (unde ia valoarea 5845>0) ...
Nu este timp sa faca rost de trei radacini pana la 0.
Deci este una singura <0, celelalte doua radacini sunt >0.

Buna seara
Multumesc foarte mult am inteles.