Buna ziua
Ma puteti ajuta si pe mine la rezolvarea urmatoarei probleme:
Aduceti la o forma canonica folosind metoda transformarilor ortogonale si gasiti o baza corespunzatoare:
f(x,y,z):R3 cu valori in R f(x,y,z)=x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 4xz + 2yz oricare ar fi (x,y,z) apartinand lui R3
eu am descompus astfel functia:
f(x,y,z)=(x + y +2z)^2 - 3(z + y/3)^2 + y^2/3
dupa care nu mai stiu ce sa fac poate ma ajutati Dvs daca aveti timp?
multumesc

[Citat] Buna ziua Ma puteti ajuta si pe mine la rezolvarea urmatoarei probleme: Aduceti la o forma canonica folosind metoda transformarilor ortogonale si gasiti o baza corespunzatoare: f(x,y,z):R3 cu valori in R f(x,y,z)=x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 4xz + 2yz oricare ar fi (x,y,z) apartinand lui R3 eu am descompus astfel functia: f(x,y,z)=(x + y +2z)^2 - 3(z + y/3)^2 + y^2/3 dupa care nu mai stiu ce sa fac poate ma ajutati Dvs daca aveti timp? multumesc

Din pacate nu stiu care este "metoda transformarilor ortogonale".
Din pacate nici pe vremea mea nu era folosita o terminologie universala la unele din materii.

Incerc sa scriu despre ce cred ca este vorba.

Buna seara domn profesor
Cred mai mult ca sigur ca asta este rezolvarea!M-am mai uitat peste niste exertcitii asemanatoare si se evidentia acolo factorul lambda in felul in care ati scris Dvs.
Asta e sigur!
Multumesc foarte mult-daca Dvs nu gasiti o alta rezolvare va spun sigur ca nimeni nu o poate gasi!
Sabi

Multumesc pentru raspuns.
Mai scriu cateva randuri, poate ca ajuta in general la pregatirea de (exercitii si) examen.

Exista soft liber care face munca pentru noi.
Eu am tiparit totul in sage, in principiu au fost doar cateva linii.

Dupa ce am vazut ca polinomul caracteristic al matricii formei patratice are ceva de-a face cu radicalul acela din trei, am revenit si mi-am retiparit codul.

Iata ce stie masina de calcul:

De asemenea, folosind calculatorul on-line de la wolframalpha, putem sa dam de cam aceleasi lucruri.

Trebuie sa tiparim doar in linia de evaluare (on-line) ceva de forma:
JordanDecomposition[ {{1,1,2},{1,1,1},{2,1,1}} ]

Link-ul (care nu merge compilat pe pagina asta) este urmatorul:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=JordanDecomposition[+{+{1%2C1%2C2}%2C{1%2C1%2C1}%2C{2%2C1%2C1}}+]

(Rog a se copia ce e albastru si a se introduce in adresa navigatorului de net.)

multumesc foarte mult.
Va suparati daca va intreb de unde a rezultat matricea A?
Eu nu sant prea sigura de asta multumesc

[Citat] multumesc foarte mult. Va suparati daca va intreb de unde a rezultat matricea A? Eu nu sant prea sigura de asta multumesc

Matricea simetrica A se transcrie (fara a intelege de ce) in modul urmator:

Se ia x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 4xz + 2yz
Desigur ca vom avea linii si coloane curand care corespund ordinii x,y,z a literelor folosite pentru variabile.

Ne uitam mai intai la monoamele patrate, deci la partey cu x^2 + y^2 + z^2
Introducem pe diagonala exact coeficientii pe care ii vedem, deci 1,1,1:

[ 1 * * ]
[ * 1 * ]
[ * * 1 ]

Sa ne legam acum de coeficientul in xy.
Acesta este 2 si il repartizam simetric drept 1+1 pe "linia lui x, coloana lui y" o data, apoi pe "linia lui y, coloana lui x" a doua oara. Dam de

[ 1 1 * ]
[ 1 1 * ]
[ * * 1 ]

Sa ne legam acum de coeficientul in xz.
Acesta este 4 si il repartizam simetric drept 2+2 pe "linia lui x, coloana lui z" o data, apoi pe "linia lui z, coloana lui x" a doua oara. Dam de

[ 1 1 2 ]
[ 1 1 * ]
[ 2 * 1 ]

In sfarsit, vine coeficientul in yz, el este 2 = 1+1, il repartizam... si obtinem

[ 1 1 2 ]
[ 1 1 1 ]
[ 2 1 1 ]

Sper ca este cat de cat clar cum se asociaza matricea.
Intr-un exemplu mai variat (in ceea ce priveste valorile coeficientilor), sa zicem ca plecam cu forma patratica

3x^2 + 7y^2 - z^2 + 12xy -4xz + 8yz

Atunci matricea simetrica asociata este

[ 3 6 -2 ]
[ 6 7 4 ]
[-2 4 -1 ] .

Pentru a intelege de ce, rog a se vedea si
http://www.pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=8&ID=40517 .

am inteles foarte bine explicatia ese cum nu se poate mai sugestiva multumesc
mult!
Sabi