Buna ziua
Mai ai si eu o problema:
Sa se arate ca:
a) submultimea M indice as;3(R) inclusa in M3(R) a matricilor antisimetrice de ordinul trei cu elemente reale este un spatiu vectorial
b)Exista un subspatiu vectorial V inclus in M3(R) astfel incat M3(R) =
= V + M indice as;3(R)
OBS:+ este intr-un cerculet
Imi cer scuze de felul in care am scris problema!
Multumesc
Sabi

[Citat]

(a) O matrice A este antisimetrica daca are loc relatia A' = -A, i.e. A' + A = O, unde O este matricea nula din inelul corespunzator de matrici.

La noi, se vede foarte usor ca aplicatia de la matrici reale 3x3 tot acolo data de legea

A -> A + A'

este o lege liniara (suma a doua aplicatii liniare, anume identitatea si transpunerea), deci are un nucleu (care este spatiu vectorial). Nucleul este exact spatiul matricilor antisimetrice.

Desigur ca se poate da si solutia bruta, se arata stabilitatea fata de operatiile...

(b) Da. Un exemplu este
V = multimea matricilor simetrice.

Acest lucru se datoreaza faptului ca orice matrice B din tot spatiul de matrici 3x3 peste IR se scrie sub forma

B = (1/2)(B+B') + (1/2)(B-B')

si (1/2)(B+B') este o matrice simetrica, (1/2)(B-B') o matrice antisimetrica.
Pentru a vedea ca avem o suma directa (acel "cerculetz") de spatii vectoriale (in interiorul unui spatiu vectorial dat) trebuie sa calculam intersectia lui U cu V.
Fie C o matrice in intersectie. Ea este si simetrica, si antisimetrica, deci

C' = C = -C' .

Dam repede de C' = O, deci C = O.
Deci intersectia lui U cu V este (sub)spatiul vectorial trivial, deci avem intr-adevar o spargere sub forma de suma directa:

M3(IR) = U (+) V .

Am inteles multumesc foarte mult explicatia este foarte clara
Sabi