1Determinati un polinom f de grad minim,daca:
a) f e R[X] si f admite radacinile x1=i si x2=1-i
b)f e R[X] si f admite x1=1+3i si x2=-1 este radacina dubla;
c)f e Q [X] si f are radacina x1=2+radical din 3 si restul impartirii lui f la X+1 este 6.

2Construiti un polinom cu coeficienti reali,de grad minim,care admite radacina simpla 1+i si radacina tripla 2

[Citat] 1. Determinati un polinom f de grad minim,daca: (a) f e R[X] si f admite radacinile x1=i si x2=1-i (b) f e R[X] si f admite x1=1+3i si x2=-1 este radacina dubla; (c) f e Q[X] si f are radacina x1=2+radical din 3 si restu impartirii lui f la X+1 este 6. 2. Construiti un polinom cu coeficienti reali, de grad minim, care admite radacina simpla 1+i si radacina tripla 2

(1a) (X-i)(X+i)( X - (1-i) )( X - (1+i) )

(1b) ( X - (1+3i) )( X - (1-3i) ) (X+1)^2

(1c) Calculam
( X - (2+radical(3)) ) ( X - (2-radical(3)) )
= XX - 4X + 1 .
Si vedem ca valoarea in -1 este 6. Acesta este polinomul cautat.

(2)
( X-(1+i) )( X-(1-i) ) (X-2)^3 .

As avea o rugaminte,daca imi puteti explica mai pe intelesul meu cum ati procedat?

R: X^4-2X^3 +3X^2 -2X +2 . b)X^4-4X^3+15X^2-22X+10 c)X^3-2X^2-7X+2

Presupunem ca avem un polinom cu coeficienti reali, P(x) care are o radacina complexa, nereala u. Scriem atunci explicit relatia

P(u) = 0

incat sa vedem doar operatii de adunare si inmultire (si ridicare la putere).
Prin conjugare complexa, vedem atunci ca si conjugata complexa a lui u este de asemenea radacina a aceluiasi polinom P. Este singurul lucru pe care l-am folosit repetata. (Conjugarea complexa lasa pe loc toti coeficientii (reali ai) lui P.)

Cred ca nu mai sunt probleme.