In triunghiul ABC masura unghiului C este de 30 grade,fie D un punct pe(BC) asfel incat AD=AB+CD,stiind ca unghiurile CAD si ABC sunt complementare ,sa se afle masura unghiului BAC.

[Citat] In triunghiul ABC masura unghiului C este de 30 grade. Fie D un punct pe (BC) asfel incat AD = AB + CD . Se da faptul ca unghiurile CAD si ABC sunt complementare. Sa se afle masura unghiului BAC.

Sa notam cu x unghiul din B.
Stim ca x < pi/2 din conditia de complementaritate.
Unghiurile triunghiului ABC sunt in A,B,C respectiv:
150°-x, x, 30°

Corespunzator, din teorema sinusurilor putem lua laturile lui ABC de lungimile urmatoare (dupa ce eventual am schimbat prin asemanare triunghiul ABC cu unul in care raza R a cercului circumscris este R=1):

BC = a = 2R sin A = 2 sin( 150°-x )
AC = b = 2R sin B = 2 sin( x )
AB = c = 2R sin C = 1 .

Unghiurile triunghiului ADC sunt de asemenea usor exprimabile in functie de x, destul de repede scriem teorema sinusurilor si in acest triunghi, obtinand:

DC : sin(90°-x) =
AD : sin( 30° ) =
2sin(x) : sin( 60°+x )

De aici dam de urmatoarea ecuatie care este o reexprimare a legaturii AD = AB + CD date:

[Citat] In triunghiul ABC masura unghiului C este de 30 grade,fie D un punct pe(BC) asfel incat AD=AB+CD,stiind ca unghiurile CAD si ABC sunt complementare ,sa se afle masura unghiului BAC.

Uploaded with ImageShack.us

Se observa usor ca triunghiul ABE este echilateral.
Din congruenta triunghiurilor AGB si AFE (cazul IU)obtinem AG=AF=AC/2. De aici Triunghiurile AEC si BEC sunt isoscele.
0 este unghi exterior triunghiului AEC, deci este egal cu 2x si pentru ca triunghiul BEC este isoscel obtinem 2x=30-x, deci x=10 grade, iar unghiul BAC este de 70 grade.

multumesc pentru solutii,
problema s-a dat la olimpiada ,faza locala ,clasa a vii,
desi obervasem ca tr ABE este echilateral , construisem inaltimea din E a triungiului AEC ,inaltimea din A a triunghiului ABC,nu observasem congruenta tr dreptunghice ABG si AEF