Fie a si b numere rationale astfel incat a+b si ab sunt numere naturale. Demonstrati ca a si b sunt numere naturale.

[Citat] Fie a si b numere rationale astfel incat a+b si ab sunt numere naturale. Demonstrati ca a si b sunt numere naturale.

Scriem folosind fractii ireductibile:
a = p/q
b = s/t .

Din ab in IN, rezulta ca q divide s si ca t divide p. Deci gasim numere intregi c,d cu
a = ct / q
b = dq / t .

Calculam acum a+b si vedem ca numitorul comun qt este prim cu (ctt +dqq) .
Deci qt este 1 sau -1, altfel nu dam de numar intreg.
Deci a,b sunt numere intregi.
Produsul lor este >= 0 deci avem anularea unui factor sau acelasi semn.
Suma este >= 0, deci a,b >= 0.

Numerele a, b sunt deci intregi si mai mari sau egale cu 0, deci naturale.

Multumesc.