Prin alaturareae numerelor a_{1}=2; a_{2}=2^2; a_{3}=2^3; ...; a_{10}=2^10 se obtine numarul A=

. Demonstrati ca A este divizibil cu 2^10 + 2^11.

Am calculat repede catul:
sage: puteri = [ 2^k for k in [1..10] ]
sage: A = ''.join( [ str(putere) for putere in puteri ] )
sage: A
'2481632641282565121024'
sage: A = ZZ(A)
sage: A
2481632641282565121024
sage: A / ( 2^10 + 2^11 )
807823125417501667

(Numarul se divide cu 2^10 deoarece fiecare dintre acele a_k - uri se inmultesc cu o putere suficient de mare a lui 10, care contine puterea de acelasi grad suficient a lui 2.
De exemplu, ultimele cifre 1024 nu fac probleme.
Cele din fata, ne legam de spartura 5120000 acum, sunt 512 x 2 x ...
Cele si mai din fata, ne legam de spartura 2560000000 acum, sunt 256 x 2² x ...)

(Ramane de vazut ca avem si divizibilitate cu 3, da, deoarece restul este acelasi cu al lui 2 + 4 + ... + 1024 = 2048 - 2.)

Multumesc.