Incerc sa dau o solutie alternativa care este foarte aproape de modul in care se simte problema, sper sa fie inteligibila la nivel de clasa a VIII-a ...
In primul rand incercam sa vedem cu expolatam nehomogenitatea.
Ce se intampla de exemplu daca inlocuim
(a,b) cu (ra,rb)
unde r este un scalar, un numar real la dispozitia noastra.
Fractia
a / (b+ab)
devine
ra / (rb + rrab) = a / (b+rab) .
Deci daca il facem pe r mai mare, numitorul b+rab devine mai mare deci aceasta fractie devine mai mica, cealalta cu acelasi argument de asemenea, deci toata expresia devine mai mica. Este directia in care vrea sa ne impinga si inegalitatea. Sa luam atunci r-ul de asa natura incat sa avem dupa aceasta "rescalare" cu r relatia ra + rb = 2 si sa vedem ce se intampla.
Ajunge deci sa demonstram urmatoarele:
Nota:
Daca avem calculator si vrem sa il folosim pentru verificarea calculelor algebrice de mai sus, lucrurile se verifica astfel:
a = 1-x
b = 1+x
factor( a/(b+a*b) + b/(a+a*b) -1 )
Prin copy+paste in Sage dam de:
sage: a = 1-x
sage: b = 1+x
sage: factor( a/(b+a*b) + b/(a+a*b) -1 )
-(x^2 - 5)*x^2/((x - 2)*(x - 1)*(x + 1)*(x + 2))
Da, acel factor 5-x^2 a aparut si in calculele noastre, deci avem o verificare buna. (Eu intodeauna fac calculele de mana complet si ma verific cu calculatorul, fie fac calculele cu calculatorul complet si incerc uman o verificare pe un caz particular.)
Nota:
Vedem ca pentru a avea egalitatea in inegalitatea initiala avem nevoie de x=0.
Deci a=b si vrem 2/(1+a) = 1, deci a=b=1, deci a+b=2, lucru exclus initial.
Deci egalitatea nu este atinsa.