Fie ABCD un paralelogram iar O punctul de intersectie al diagonalelor sale. Din

punctul A ducem urmatoarele perpendiculare:

Aratati ca punctele M, P, O si Q sunt conciclice.

[Citat] Fie ABCD un paralelogram iar O punctul de intersectie al diagonalelor sale. Din punctul A ducem urmatoarele perpendiculare: Aratati ca punctele M, P, O si Q sunt conciclice.

Solutia pe care o dau depinde mult de modul in care facem figura.
(Eventual trebuie facute "toate figurile" si pe fiecare dintre ele studiata situatia si modul de rescriere al solutiei.)

Figura pe care dau o solutie este cea in care A este un unghiu obtuz si in care P se afla pe segmentul [BO] . (Ultimul lucru putem sa-l presupunem prin simetrie.)

Facem pentru inceput o mica lista cu lucruri utile:
(1) APQB inscriptibil
(2) APMD inscriptibil
(3) AQCM inscriptibil
(4) OA = OC = OQ = OM deci O este centru cercului circumscri lui AQCM din (3).

Intr-o prima solutie am vazut ca toate unghiurile care ar putea sa ma intereseze (masura lor este peste tot inteleasa aici) pot fi scrise in functie de unghiurile urmatoare leagate de triunghiul BCD (alegera mea arbitrara):
b = masura lui DBC
d = masura lui BDC
c = masura lui ACD
c' = masura lui ACB (de care nu avem nevoie).

Calculam atunci destul de repede (peste tot scriu relatii intre masuri de unghiri):

DOM
= DOC - MOC
= (pi -c -d) - (pi -2c)
= c-d

PQM
= PQC - MQC
= PAB - MAC
= (pi/2 - ABP) - (pi/2 - ACM)
= (pi/2 - d) - (pi/2 - c)
= c-d

De aici deja inscriptibilitatea ceruta.

Alternativ, dar de fapt cam acelasi lucru:
2 OMQ
= OMQ + OQM
= pi - QOM
= pi - 2 QAM (din (4) mai sus)
= pi - 2(pi-C) (unde C este unghiul paralelogramului din C)
= 2C - pi

deci
OMQ = C - pi/2

BPQ
= BAQ
= pi/2 - B
= pi/2 - (pi-C)
= C - pi/2

Din nou dam de inscriptibilitate.