Fie P un punct situat in interiorul triunghiului ABC, astfel incat, PA=PB. Fie

punctele M si N situate in exteriorul triunghiului ABC, astfel incat,

Aratati ca patrulaterul CMPN este paralelogram.

[Citat] Fie P un punct situat in interiorul triunghiului ABC, astfel incat, PA=PB. Fie punctele M si N situate in exteriorul triunghiului ABC, astfel incat, Aratati ca patrulaterul CMPN este paralelogram.

Din asemanari de triunghiuri isoscele facem rost de
BP : AB = AP : AB = BM : BC = AN : AC .
Deoarece mai avem si informatii despre unghiuri la indemana,
facem repede rost de asemanarea triunghiurilor

ABC
PBM
APN

Daca notam acum cu a masura lui <(PAB) = <(PAC), atunci calculam usor masurile unghiurilor urmatoare:

<(NPM)
este 2pi - (pi-2a) - A - B = (pi-A-B) + 2a = C+2a .

<(NCM)
este desigur de asemenea C+2a

<(AMC) si <(ANC)
sunt din acelasi calcul (pi-2a) - C .

Rezulta paralelitatea...