Fie triunghiul ABC si cercul circumscris lui. Se duc dintr-un punct exterior T, tangentele la

cerc, in punctul B si respectiv C. Fie punctele D si E, situate pe BC, astfel incat AD||CT si

AE||BT. Aratati ca are loc relatia:

[Citat]

Fara sa facut calculele, cred ca urmatoarea strategie (analitica) de lucru ajunge la bun sfarsit. (Problemele de

Notam
OB = OC = R raza cercului circumscris,
TB = TC = t , care se poate exprima in functie de R si unghiul <(BOT) = <(A)

Calculam TO in functie de t si R.
Calculam TA in functie de t si R.

Calculam unghiurile trapezului ACTD in functi unghiurile triunghiului ABC.
- Stim <(BTO) in functie de <(A), deci si <(BTC).
- Spargem <(ACT) in <(ACB) = <C) si <(BCT) complementar lui...

In trapezul ACTD calculam "tot ce putem" in functie de R, t, AC = b si unghiurile lui ABC. Calculam mai intai AD. (Ne legam de paralelogramul ADXC si aplicam teorema sinusurilor in DXT. Ajunge pentru a avea XT in functie de AC = DX si unghiuri... Daca "avem" AD calculam in triunghiul ADC sau DCT acel DC.
(Teorema generalizata a lui Pitagora sau teorema sinusurilor.)
(Trebuie poate sa fim atenti de ce parte a lui D avem intersectia.)

Facem la fel pentru a da de EB.

Daca facem calculele (lucrand mai mult cu sin, cos, teorema sinusurilor) si propozitia data este adevarata, simplificam si castigam.



Dupa ce am vazut ca merge (poate) asa, incercam sa ne mai rafinam din argumente.
De exemplu,

CD : CT : DT = sin(T) : sin( CDT ) : sin( DCT ).
BE : BT : ET = sin(T) : sin( BET ) : sin( EBT ).

Ramane sa gasim un drum bun in trapezul ADTC pentru a-l exprima pe sin( CDT ) sai sin( DCT ) in functie de sinusuri / cosinusuri de unghiuri in trapez, care sunt formate de catre laturi.

Trebuie sa trimit, incerc sa mai revin azi.