1. Sa se arate ca, pentru orice lambda apartine intervalului [2,4], ecuatia x^3-5x+lambda=0 are in intervalul [0,2] doua solutii reale,una subunitara si alta supraunitara.
2. Fie functia continua f:[0,4]->R astfel incat f(0)=f(4).Sa se arate ca exista c apartine [0,2] astfel incat f(c)=f(2+c).

[Citat] 1. Sa se arate ca, pentru orice "a" apartine intervalului [2,4], ecuatia x^3 - 5x + a = 0 are in intervalul [0,2] doua solutii reale, una subunitara si alta supraunitara. 2. Fie functia continua f: [0,4] -> IR astfel incat f(0) = f(4) . Sa se arate ca exista c apartine [0,2] astfel incat f(c) = f(2+c) .

1.
Sa fixam un a in intervalul de la 2 la 4.
Fie h functia ajutatoare de la [0,2] la IR data de

h(x) = x^3 - 5x + a

pentru orice x in domeniul de definitie.
Calculam atunci desigur valorile lui h in punctele cerute de problema, eu mai adaug si -oo si +oo.

h(-oo) "este" -oo, care este < 0,
h(0) = a, care este > 0
h(1) = a - 4, care este... hm, pentru a=4 dam de 0, in rest de ceva < 0,
h(2) = a - 2, care este... hm, pentru a=2 dam de 0, in rest de ceva > 0.
h(+oo) "este" +oo, care este > 0,

Cazurile cu a=2 si a=4 propun sa le luam separat.
In celelalte, avem o schimbare de semn pe (0,1) si respectiv pe (1,2), deci lucrurile sunt clare. Am rezolvat pe jumatate.

Solutia cea mai simpla a problemei este urmatoarea.
Uitam cele scrise mai sus si ne legam de cazul particular a=4.

Ecuatia
x^3 - 5x + 4 = 0
se rescrie (x-1)( xx + x - 4 ) = 0,
care are trei radacini
1, o radacina negativa si una unde o mai fi.
Deci o radacina este echiunitara si nu mai avem sansa sa dam de doua radacini,
una subunitara (i.e. pozitiva si < 1)
si una supraunitara (i.e. > 1).

Propozitia este falsa. Am terminat.


2. Consideram functia ajutatoare h de la [0,2] la IR data de
h(x) = f(x) - f(2+x) .

Atunci
h(0) = f(0) - f(2) ,
h(2) = f(2) - f(4) = f(2) - f(0) = - h(0) .

Deci fie h(0) = 0 si luam c=0 numai bun, fie h(0) are un semn, h(2) are semn opus si folosim Darboux.