Buna ziua
Am o problema:
Sa se calculeze integrala de la zero la infinit din (e la puterea -3x inmultit cu cos 4x) dx.
Calcularea integralei se poate face prin parti calculand integrala din sin si apoi din cos, dar nu se poate face utilizand serii Fourier? Are legatura?
Apoi se trece la limita

respectiv cu calcularea lui a0 si b0 (coeficientii Fourier)

Nu mi-e usor sa raspund la repezeala, dar trebuie sa incerc.
(Sunt intr-o pauza de lucru la serviciu, ca asa e in tenis: http://www.romanianvoice.com/poezii/umor/tc_tenis.php)

Un document pe care l-am ales din primele livrate de goog* este urmatorul:

http://www.phy.duke.edu/~hx3/physics/FourierLaplace.pdf

Aici se vede ca ambele transformari sunt transformari integrale.
Acel exponent al (nucleu)lui "exp" (e la puterea..) are intr-un caz un i, in celalalt nu il are. Legatura dintre cele doua transformari integrale (Laplace si Fourier) nu este mereu posibila, avem nevoie de cazuri bune de convergenta in analiza complexa pentru a face ceva.

In orice caz, problema de mai sus este o transformare Laplace.
Folosind proprietatile acestei transformari (cred ca se fac la facultati unde apar semnale...) se rezolva repede anumite probleme.

Lista unor transformate Laplace uzuale este de exemplu aici:
http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform#Table_of_selected_Laplace_transforms

Multumesc foarte mult pentru informatiile primite.
Dar nu s-ar putea sa imi rezolvati totusi Dvs.exercitiul meu?
S-ar putea sa il gresesc.
Va multumesc anticipat
Sabina

Am incercat totusi sa rezolv singur si am gasit din polinomul trigonometric urmatoarele valori:
pentru a0 = 1/pi integrala de la zero la infinit din e^-3x dx iar dupa integrare rezulta 1/3pi.
Integrala I1=integrala de la zero la infinit din(e^-3x cos4x dx= 1/3 minus 4/3 I2
iar I2 1/3+4/3I1 in final rezultand 61/150 pi.
Am efectuat integrarea prin parti si mi-a rezultat valorile celor doua integrale.
Nu stiu daca este bine?
Vreti sa vedeti Dvs?
Multumesc

Care este exercitiul de fapt?
Pentru a raspunde am nevoie de o intrebare.

LaTeX-ul este bine-venit cu atat mai mult cu cat nivelul problemei este mult peste nivelul *incercarii* de a tipari o formula in LaTeX. Chiar daca nu se compileaza, ne descurcam cumva dupa aceea.

(In postarea originala nu era vorba de nici o rezolvare, ci de o legatura.
Asa ca am raspuns pe cat am putut incercand sa stabilesc o legatura.)

pai exercitiul era de fapt urmatorul:
sa se calculeze integrala de la zero la infinit din e^-3x inmultit cu cos 4x dx.
Eu am incercat sa rezolv exercitiul in doua feluri:
1)tratand integrala ca o integrala improprie facand integrala de la zero la beta cu beta tinzand la infinit care se reduce de fapt la a calcula integrala aceea pe care am rezolvat-o prin parti si apoi am trecut la limita
2)scriind polinomul prin dezvoltarea Fourier (cu determinarea coeficientilor a0 si b0).
Cred ca metoda a doua este mai buna ,eu am obtinut un rezultat pe care vi l-am trimes Dvs dar nu stiu daca o fi cel corect.
Sabina

[Citat] pai exercitiul era de fapt urmatorul: sa se calculeze integrala de la zero la infinit din e^-3x inmultit cu cos 4x dx. Eu am incercat sa rezolv exercitiul in doua feluri: 1)tratand integrala ca o integrala improprie facand integrala de la zero la beta cu beta tinzand la infinit care se reduce de fapt la a calcula integrala aceea pe care am rezolvat-o prin parti si apoi am trecut la limita 2)scriind polinomul prin dezvoltarea Fourier (cu determinarea coeficientilor a0 si b0). Cred ca metoda a doua este mai buna ,eu am obtinut un rezultat pe care vi l-am trimes Dvs dar nu stiu daca o fi cel corect. Sabina

Ei bine, aceasta legatura nu este simpla.
De exemplu, citand de pe
http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform#Fourier_transform


The above relation is valid as stated if and only if the region of convergence (ROC) of F(s) contains the imaginary axis, ? = 0. For example, the function f(t) = cos(?0 t) has a Laplace transform F(s) = s/(s^2 + ?0^2) whose ROC is Re(s) > 0. As s = i? is a pole of F(s), substituting s = i? in F(s) does not yield the Fourier transform of f(t)u(t), which is proportional to the Dirac delta-function ?(?-?0).

However, a relation of the form

\lim_{\sigma\to 0^+} F(\sigma+i\omega) = \hat{f}(\omega)

holds under much weaker conditions. For instance, this holds for the above example provided that the limit is understood as a weak limit of measures (see vague topology). General conditions relating the limit of the Laplace transform of a function on the boundary to the Fourier transform take the form of Paley-Wiener theorems.


La o privire de ansamblu avem nevoie de transformata Fourier pe spatii L^2...

Inca nu am inteles care este de fapt problema.
Avem un exercitiu, incercam sa il rezolvam, stim sa il rezolvam, cu transformata Fourier nu merge. Unde este deci problema?

Sau daca merge ceva, ce merge, in detaliu? Apoi vedem daca lucrurile sunt riguroase.

Buna seara
Asta este! eu m-am exprimat gresit pentru ca integrala aceea este de fapt o portiune din dezvoltarea Fourier cealalta fiind cu sin 4x(cam asa ceva).
Oricum cele explicate de Dvs cu aceasta ocazie mi-au folosit ca am invatat inca ceva lucruri in plus!
Ar mai fi acum interesant care ar putea sa fie de fapt functia care dezvoltata in serie Fourier sa contina e ^3x cos 4x.Poate m-am exprimat iar gresit?
Sabi

mai precis:
- calculam a indice n = 1/pi integrala de la zero la infinit din e^-3x cos 4x dx
- calculam b indice n = 1/pi integrala de la zero la infinit din e^-3x sin 4x
- calculam a indice zero =1/pi integrala de la zero la infinit din e^-3x dx
Apoi exprimam utilizand formula de dezvoltare in serie Fouriei pe un f(x)=f(a0,an,bn)
Este drept ca initial am vrut doar calculul integralei de la zero la infinit din e^-3x cos 4x dx dar dupa ce am vazut rezolvarile Dvs m-am gandit la acest lucru.
S-ar putea sa gresesc?Oricum am cautat si mi-am insusit toate rezolvarile Dv.
Sabi

De trei ori vad mai sus un "de la zero la infinit",
dar in definitia integralei Fourier avem o integrala de la -oo la +oo.
http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform

Daca am avea o functie para de integrat ar fi usor sa oblojim lucrurile, dar asa, putem calcula cele trei integrale, ele nu au insa nimic de-a face cu transformata Fourier a unei functii.