1. Sa se determine a,b din R, a>-3 astfel incat sa fie continua pe (-a,+oo):

2. Sa se determine nr intreg a astfel incat functia

sa fie continua in punctul a'=1.

3.Poate fi f+g continua intr-un punct a in care f este continua iar g discontinua?justificare.

[Citat] 1. Sa se determine a,b din R, a>-3 astfel incat sa fie continua pe (-a,+oo): 2. Sa se determine numarul intreg a astfel incat functia sa fie continua in punctul 1. 3. Poate fi f+g continua intr-un punct a in care f este continua iar g discontinua? Justificare.

Sa incercam impreuna.

1. In primul rand trebuie sa existe limita in punctul 3 din ambele parti.
Din partea cu fractia avem necazurile. Numitorul fractiei converge la 0. Pentru a asigura convergenta la un b finit, trebuie ca si numitorul...

Ce putem spune atunci mai intai despre a?
Ce putem spune apoi despre b?

2.
La acest punct procedam la fel, dar deoarece stim numaratorul (si nu numitorul) ne legam de numarator. Este clar ca daca luam a=-100 avem limite din stanga si dreapta lui 1, dar din pacate limita este nula. Cum sa il luam atunci pe a cat se poate de mare, dar nu prea mare?

3.
Stim ca daca f si h sunt doua functii definite pe ceva comun, continue in a, atunci si diferenta h-f este continua in a ?


Nota: Rog a nu se mai folosi prea multe paranteze in codul latex, acesta este greu de digerat la citat.

La exercitiu 2 m-am gandit astfel:
Pt ca functia f sa fie continua in punctul a'=1 este necesar ca limita la stanga in 1 sa fie egala cu limita la dreapta in 1.
Dar intampinez ceva probleme in gasirea celor 2 limite ..am incercat cu limita cu [ln(1+x)]/x=1 dar tot nu merge ...:|

Bine, sa incercam cu pasi mici:
Care este valoarea lui

ln( 1 + ln(2-x) )

in punctul x=1 ?

0

Deci daca a=0 nu este bine, deoarece din ambele parti limita este 0, dar in 1 functia este definita altfel. Trebuie sa "luam din anulare" efectiv folosind o putere corespunzatoare a lui (x-1).

(Eu am vazut multe si stiu ca vom avea un a natural la sfarsit... dar si fara a sti acest lucru...)

Care este limita lui

ln( 1 + ln(2-x) )
------------------------
(x-1)

in (x spre) 1 ?

-1 datorita limitei fundamentale cu logaritmul natural.

Am rezolvat problema a 2-a?

cam da)
credeam ca poate este nevoie de o rezolvare ''calculate'' folosind formule cu limite si alte cele ..:D

Nu, problema cere de fapt "ordinul exact de anulare" al expresiei

ln( 1 + ln(2-x) )

in punctul 1.
Mai devreme sau mai tarziu se va face asa-zisa serie Taylor, pentru inceput se vor face doar cele cateva polinoame Taylor pentru functiile elementare.

De exemplu, sper ca este usor de inteles de ce avem (folosesc y in loc de x, x-ul va apare doar legat de problema)

1 / (1-y) = 1 +y +y^2 +...
dezvoltare valabila doar pe langa y=0.
Terminologie:
Polinomul de ordin doi (la noi chiar grad doi, deoarece nu dispare coeficientul in grad doi) al lui 1/(1-y) *in jurul lui y=0* este
1 + y + yy .

Daca stim sa integram, este natural (dar nedemonstrat) ca avem poate
- ln(1-y) ~ y + yy/2 + yyy/3 + ...

Pentru problema noastra putem gandi asa (la nivel de liceu doar intuitiv, neriguros):

- ln(2-x)
= - ln( 1 - (x-1) )
~ (x-1) + (x-1)^2 / 2 + ...
= y + yy/2 cu y = x-1 cel tarziu acum ca sa mai simplificam din litere si sa ne putem concentra cum trebuie pe ceea ce se anuleaza. Aici m-am oprit la ordinu doi, mai jos tot ce este peste ordinul doi nu mai este exact, va trebui eliminat.


- ln( 1 + ln(2-x) ) ....... (il iau cu minus ca imi e mai usor sa scriu)
~ ln( 1 - cele de mai sus )
~~ ln( 1 - ( (x-1) + (x-1)^2 / 2 ) )
= ln( 1 - ( y + yy/2 ) )
~ ( y + yy/2 ) + ( y + yy/2 )^2 / 2
= y + yy/2 + yy/2 + termeni ce trebuie sa ii ignoram
~ y + yy .

In particular vedem anularea de ordin unu, am calculat chiar si termenul urmator. Acest y + yy = (x-1) + (x-1)^2 este polinomul Taylor de ordind 2 al lui

- ln( 1 + ln(2-x) )

in jurul lui x=1.
Se intelege despre ce este vorba, cand se deseneaza (se cer computerului) pe acelasi grafic cele trei functii:

- ln( 1 + ln(2-x) )
(x-1)
(x-1) + (x-1)^2