Buna. Revin cu o problema de geometrie scrisa de un alt utilizator pe forum. Paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' are
AB = 8cm ,
BC = 6cm si
AA' = 5 radical(3) cm .
(a) Calculati distanta de la D la (D'AC)
(b) Determinati masura unghiului diedru format de planele (D'AC) si (AA'C').

[Citat] Buna. Revin cu o problema de geometrie scrisa de un alt utilizator pe forum. Paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' are AB = 8cm , BC = 6cm si AA' = 5 radical(3) cm . (a) Calculati distanta de la D la (D'AC) (b) Determinati masura unghiului diedru format de planele (D'AC) si (AA'C').

Buna, multumesc pentru revenire in aceasta haina ireprosabila!

(a) Sa notam cu h distanta cautata. Este o necunoscuta pana o aflam.

O prima solutie. Urmam o idee generala care "merge aplicata" in orice tetraedru in care stim o inaltime si vrem sa calculam o alta.

Idea este de a calcula volumul V al tetraedrului DD'AC in doua moduri,
- vazut o data cu varful in D si cu baza D'AC si
- vazut o a doua oara cu varful in D' si cu baza DAC.

In primul caz calculam aria bazei D'AC in primul rand.
Daca nu avem nici un fel de idee (mai buna) putem sa calculam usor lungimile laturilor, apoi sa aplicam Heron. Dar eu prefer sa calculez mai bine aceasta arie dupa formula

Aria( D'AC ) = ( baza AC ) . ( inaltimea D'E ) / 2 .

Aici tocmai am dus DE perpendiculara pe AC, E fiind piciorul acestei perpendiculare. Baza AC are lungimea de 10 cm. (Numerele 6, 8, 10 sunt pitagoreice, in aceeasi proportie cu 3, 4, 5.)
Cum calculam D'E?
Din teorema celor trei perpendiculare pentru dreapta D'D perpendiculara pe planul ADC si pentru dreapta AC din acest plan obtinem faptul ca DE este perpendiculara pe AC. Sa calculam DE. Dupa acelasi motiv, de data asta in plan. Avem relatia:
2 Aria( ADC ) = AD . DC pe de o parte si
2 Aria( ADC ) = DE . AC pe de alta parte.
Deci DE = AD . DC / AC = 4,8 cm .

In triunghiul dreptunghic D'DE ipotenuza D'E este (Pitagora)
radical( 4,8² + 75 ) cm = ceva urat, dar calculabil. Sa zicem ca am calculat aceasta marime.

Atunci:

Cu calculatorul...

sage: h = 6 * 8 * 5*sqrt(3) / sqrt( (48/10)^2 + 75 ) / 10 ;
sage: h^2
14400/817
sage: h.n()
4.19826857124792
obtinem faptul ca h este
120 / radical(817) cm, ceva pe langa 4,2 cm .

O a doua posibilitate este sa calculam inaltimea din D din triunghiul DD'E din prima solutie. De ce? Cu alte cuvinte, daca ducem perpendiculara DH din D pe planul D'AC, de ce se afla DH in planul lui DD'E ?

O a treia posibilitate presupune ca stim geometrie analitica (putina).
Sa consideram punctul D a fi centru unui sistem de axe de coordonate, axele aratand pe rand in directiile DA, DC si DD'.

Daca sunt intrebari rog a se pune cat mai multe.
Solutia a doua este foartea probabil cea intentionata (la nivel de clasa a VIII-a).
Prima solutie acopera o idee care trebuie stiuta.
Solutia rapida si fara probleme este cea din geometria analitica, trebuie doar sa stim sa scriem vectorul normal la plan.

(b) Cele doua plane au in comun dreapta AC.
Avem nevoie de doua drepte perpendiculare pe AC, una din primul plan, a doua din al doilea plan.

Despre planul D'AC stim de la (a) faptul ca D'E este perpendiculara pe A'C.
Despre planul A'AC... stim ca este bine sa il vedem ca planul dreptunghiului A'ACC'. Atunci perpendiculara din acest plan in E pe AC este o dreapta paralela cu AA', CC' si DD'.

Destul de repede vedem ca trebuie a calculam unghiul dintre dreptele D'D si D'E.
Nu obtinem o valoare prea frumoasa. Dar modul de calcul este clar.