1. Aratati ca polinomul

este ireductibil in Q[X]
Cum se face cu metode sa le zicem, elementare, fara criterii speciale.
Daca se incearca cu

iese un sistem destul de incomod.

3. Ce metode de abordare se folosesc in probleme de tipul: gasiti polinomul cu coeficienti RATIONALI, de grad minim, care sa admita o radacina indicata, spre exemplu

[Citat] Daca se incearca cu iese un sistem destul de incomod.

Pute?i reduce u?or situa?ia la cazul în care a,b,c,d sunt întregi. Sistemul nu mai e incomod.

[Citat] 3. Ce metode de abordare se folosesc in probleme de tipul: gasiti polinomul cu coeficienti RATIONALI, de grad minim, care sa admita o radacina indicata, spre exemplu

Daca tot este sa adunam metode, iata aici o metoda care merita mentionata la (1):

In primul rand trebuie sa stim (lema lui Gauss) ca un polinom monic din Z[X] (i.e. cu coeficienti intregi) este reductibil in Q[X] daca si numai daca este reductibil in Z[X] .
[url]http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss's_lemma_(polynomial)

Acum dintr-o descompunere peste Z dam de o descompunere si peste Z modulo p pentru orice p prim. (Ajunge sa ne legam de reduceri modulo numere prime.)
Invers, daca un polinom din Z[X] este prim / ireductibil dupa reducerea modulo p pentru un p "bun", atunci si polinomul initial din Z[X] este prim.

La noi, un computer ne arata ca...

for p in primes(20):
R.<x> = PolynomialRing( GF(p) )
print p, factor( R( x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 ) )

2 x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
3 x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
5 (x + 4)^4
7 x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
11 (x + 2) * (x + 6) * (x + 7) * (x + 8)
13 x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
17 x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
19 (x^2 + 5*x + 1) * (x^2 + 15*x + 1)

In particular, polinomul
x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 din Z[X]
ramane prim chiar si dupa reducerea modulo 2.
*Daca stim* (sau speculam ca am putea sti) asa ceva, atunci putem arata asa ceva repede si fara calculator.

Evident, 0 si 1 nu sunt radacini, deci putem cauta divizori doar printre cele cateva polinoame (monice) de grad 2. Polinoamele XX, X(X+1) si (X+1)(X+1) putem sa le omitem deja. Ramane sa impartim polinomul de mai sus (cu rest) la XX + X + 1. Primii trei termeni se duc repede, restul ramane repede. Asta este tot.

O nota in plus si legata de "(ne)asteptata" descompunere modulo 5.
Modulo 5, polinomul nostru
P(X) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
este tot una cu
x^4 -4x^3 + 6x^2 -4x + 1 = (X-1)^4 .

Este mai ales din acest motiv natural sa consideram polinomul
P(X+1). In cazul nostru dam de
x^4 + 5x^3 + 10x^2 + 10x + 5 ...
(Parca stim de undeva coeficientii acestia...)

Ei bine, scrierea de mai sus ajuta la a arata in alt mod ireductibilitatea (peste Z). Si anume foarte usor!
Sa zicem ca avem o descompunere peste Z de forma
(x^2 + Ax + B) (x^2 + Cx + D), A,B,C,D in Z .

O luam modulo 5 si dam de o descompunere a lui ... x^4 .
Bine, dar acesta descompunere este unica posibila, (x^2 + 0x + 0) (x^2 + 0x + 0) . De aceea, stim ce devin cei doi factori modulo 5, deci avem de fapt o descompunere de forma:
(x^2 + 5ax + 5b) (x^2 + 5cx + 5d), a,b,c,d in Z .

Dar de aici, 5b 5d este coeficientul liber care se divide doar cu 5, nu si cu 25. Contradictie, nu avem nici o descompunere.
(Daca extragem idea din acest rationament, dam de criteriul lui Eisenstein.)


La (2) ajunge sa vedem ca XXX - 3 este un polinom care anuleaza acel numar, il are ca radacina. Daca exista un polinom de grad mai mic cu aceasta proprietate, atunci acest polinom de grad mai mic il divide pe XXX - 3 .
(Altfel cu impartirea cu rest a lui Euclid...)
In particular, XXX - 3 este reductibil peste Z . Deci are un factor liniar de forma (X-a) cu a in Z. Dar acest lucru nu se intampla, ajunge sa verificam cu divizorii 1,-1,3,-3 ai termenului liber.

Nota:
In toate cele de mai sus am folosit esential faptul ca anumite inele de polinoame sunt cu descompunere unica in factori primi = ireductibili (in acest caz macar cu = ... nu in general).