[Citat] [Citat] 4.Se cere multimea valorilor lui a in R pt care functie f:R->R , f(x) = arctg|x^2 + x + a| are trei puncte de extrem local. Functia arctg este strict crescatoare pe R. Atunci punctele de extrem local ale functiei date sunt aceleasi cu punctele de extrem local ale functiei . Incercati acum sa terminati problema, dar nu as recomanda folosirea derivatelor! In cazul in care mai aveti nevoie, reveniti.

E suficient sa pun conditia ca discriminantul la ecuatie sa fie strict pozitiv nu ?

[Citat] [Citat] Acel "c" din intervalul (o,1) cu siguranta depinde de "n" Evident ca pentru "n" finit acest c_n ramane in (0,1) Dar prin trecere la limita poate ca c_n->1. Iar 1 la puterea infinit nu-i sigur ca e zero. Pt. n=10 valorae aproximativa a integralei este 0,22 pt. n=20 este o,12 pt n=30 este 0,08 N-as spune ca "scade vertiginos" catre zero. Cum lamurim acest lucru? Si inca o intrebare: de ce s-a pus factorul (2n+1)in fata integralei? Pentru derutarea adversarului? (Cu un simplu "n" propblema ar functiona la fel.) Intre timp am mai calculat cate ceva. Pt. n=10 toata expresia a carei limita se cere este aprox. 4,78, pentru n=20 este 5,07. Ceva e suspecta in aceasta afacere. Sper ca gresesc eu. In culegerea de probleme raspunsul corect este 2e insa nu stiu cum sa ajung la acest rezultat

Corect!

Notam

si constatam urmatoarele:

• Pentru orice n avem
  
  (integrare prin parti)
  
• Sirul
  
  este descrescator (rezulta direct din monotonia integralei)
  
• Asadar pentru orice n avem
  
  
  
• Mai departe,
  
  
  
• De aici, cu regula clestelui rezulta
  
  
  
  

[Citat] 4.Se cere multimea valorilor lui a in R pt care functie f:R->R , f(x) = arctg|x^2 + x + a| are trei puncte de extrem local.

Speram ca figura interactiva de mai jos sa clarifice (daca mai era ceva de clarificat) fenomenul.

Sliderul din josul figurii poate fi tras cu mouse-ul.

1.Fie sistemul
ax + by + cz = 0 , ax + cy + az = 0 , cx + ay + cz = 0 , c,a,b radacinile ecuatiei
x^3 - d*x^2 - x + 1 = 0 . Pentru cate valori d sistemul sa admite solutii nebanale ?

2.Se cere multimea valorilor lui m pentru care ecuatia x = m*e^[2/(x-2)] sa admita doua radacini reale distincte.

3. Sa se determine n natural pt care numarul radacinilor rationale ale ecuatiei 2 + 4nlog(baza 9)x = log(baza 3)[10*x^(2n-2) -1] este maxim.

4.
lim(la infinit) n*integrala(de la n la 2n) (x+1)/[(x^6 + 1) ^(1/2)] dx

[Citat] 1.Fie sistemul ax + by + cz = 0 , ax + cy + az = 0 , cx + ay + cz = 0 , a,b,c radacinile ecuatiei x^3 - d*x^2 - x + 1 = 0 . Pentru cate valori m sistemul sa admite solutii nebanale ?

Aceasta problema nu prea are sens. ordinea celor trei radacini conteaza! In al doilea rand, cine este m? Nu apare nicaieri in enunt!

[Citat] 2.Se cere multimea valorilor lui m pentru care ecuatia x = m*e^[2/(x-2)] sa admita doua radacini reale distincte.

Notam cu

. Conditia este echivalenta cu faptul ca ecuatia

are doua radacini reale. Deoarece

functia este strict crescatoare pe fiecare (!!!!) din intervalele

respectiv

. Dar

,

deci pe intervalul

ecuatia de mai sus are EXACT o radacina reala, INDIFERENT DE VALOAREA LUI m. Mai departe,

respectiv

, deci ecuatia are o radacina reala pe acest interval NUMAI PENTRU m>0. raspunsul este, deci:

[Citat] 3. Sa se determine n natural pt care numarul radacinilor rationale ale ecuatiei 2 + 4nlog(baza 9)x = log(baza 3)[10*x^(2n-2) -1] este maxim.

Ecuatia implica (vom examina conditiile de existenta la sfarsit):

Examinam cel de-al doilea factor. Coeficientul dominant este 9 iar cel liber este 1. Radacinile rationale ale celui de al doilea termen pot fi doar

. In primul caz, obtinem

si atunci ecuatia polinomiala devine

cu radacinile

. Dintre acestea convine numai x=1 (ceallata este negativa).
In al doilea caz, obtinem

de unde obtinem

si mai departe

Ecuatia originala admite in acest caz DOUA radacini rationale:

. Raspunsul este n=2.

[Citat] 4. lim(la infinit) n*integrala(de la n la 2n) (x+1)/[(x^6 + 1) ^(1/2)] dx

Fie

Ni se cere limita

LIMITA ESTE NEDETERMINATA DE TIPUL 0/0! Argumentul direct depaseste programa, si se bazeaza pe faptul ca intergala improprie

este convergenta, fiind de aceeasi natura cu integrala improprie

. Oricum, acest fapt nu se vede la testul grila. Folosind regula lui l'Hopital, derivand numitorul si numaratorul de sub limita, avem

[Citat] [Citat] 1.Fie sistemul ax + by + cz = 0 , ax + cy + az = 0 , cx + ay + cz = 0 , a,b,c radacinile ecuatiei x^3 - d*x^2 - x + 1 = 0 . Pentru cate valori m sistemul sa admite solutii nebanale ? Aceasta problema nu prea are sens. ordinea celor trei radacini conteaza! In al doilea rand, cine este m? Nu apare nicaieri in enunt!

Am modificat

[Citat] 1.Fie sistemul ax + by + cz = 0 , ax + cy + az = 0 , cx + ay + cz = 0 , c,a,b radacinile ecuatiei x^3 - d*x^2 - x + 1 = 0 . Pentru cate valori d sistemul sa admite solutii nebanale ?

Enuntul nu este nici acum satisfacator, deoarece determinantul nu este simetric in variabilele a,b,c. Vom presupune ca enuntul se refera la unul din sistemele obtinute.
Sistemul (omogen!), asa cum este scris, admite solutii nebanale daca si numai daca determinantul sau este nul, adica

Conditia c=a este echivalenta cu existenta unei radacini duble ale polinomului, ceea ce este echivalent cu faptul ca polinoamele

si

au o radacina comuna. Deoarece

acest fapt conduce la singurul candidat pentru solutie dubla:

. Inlocuind in expresia lui g obtinem

sau

de unde obtinem d=1.
Cazul al doilea este

. Folosind relatiile lui Viete, acest fapt este echivalent cu

, adica

este radacina a polinomului. Cu alte cuvinte,

Am gasit asadar o singura valoare convenabila a parametrului

1035. Se cere a pt care

este izomorfism al grupului (M_2(Z),+)



1033. Se cere numarul punctelor de extrem al functiei

1034. Se cere integrala

1026. Fie

Se cere limita(n->infinit) [ f(derivat de n ori)(1/n) / f(derivat de n ori)(0).