Ce simplu era..
Mai am inca 3 ce nu mi-o iesit...
1.
Fie f(x) = 2x + sinx,
Se cere integrala de la 0 la 2pi din g(x)dx , unde g(x) este inversa lui f(x)

2.
Fie f(x) = 1/(2sqrt(x)) , x>0.
Solutia inecuatiei f(x)>= e^x este:
a)interval deschis
b)alt raspuns
c)un interval nemarginit
d)un interval inchis si marginit
e)o multimne finita
3.
fie f:R-> R , f(x) = x^3 - 3*x^2 + ax-1 , a din R.
Se cere a a.i. g(x) = |f(x)| sa fie derivabila pe R

(si la asta nus sigur)
4.
Fie sistemul de ecuatii
x + y = 1
2x + ay = b
a,b, din R

a)Se cere a a.i. sistemul sa aiba solutie unica
b)Sistemul este compatibil nedeterminat daca si numai daca b apartine multimii...?
5.
lim (e^n + 2) ^(1/(n^2)) , (mie mi-a dat 1 dar nu-s sigur daca e bine)
n->infinit

[Citat] Ce simplu era.. Mai am inca 3 ce nu mi-o iesit... 1. Fie f(x) = 2x + sinx, Se cere integrala de la 0 la 2pi din g(x)dx , unde g(x) este inversa lui f(x)

E clar ca f este strict crescatoare si derivabila. In plus,

. Folosim schimbarea de variabila

, caz in care

si

. Avem

[Citat] % 2. % Fie f(x) = 1/(2sqrt(x)) , x>0. % Solutia inecuatiei f(x)>= e^x este: % a)interval deschis % b)alt raspuns % c)un interval nemarginit % d)un interval inchis si marginit % e)o multimne finita

membrul stang al inegalitatii este o functie strict descrescatoare, iar membrul stang este strict crescatoare. In plus,

, deci ecuatia

are o solutie unica

. Multimea solutiilor inegalitatii este intervalul

, deci raspunsul corect ar fi (b).

[Citat] % 3. % fie f:R-> R , f(x) = x^3 - 3*x^2 + ax-1 , a din R. % Se cere a a.i. g(x) = |f(x)| sa fie derivabila pe R

Polinomul de gradul trei are cel putin o radacina reala. Functia g este derivabila in acel punct daca si numai daca radacina NU ESTE SIMPLA (adica are multiplicitate cel putin egala cu doi). De aici, e usor de vazut ca polinomul dat trebuie sa aibe o radacina de multiplicitate TREI. Prin urmare

si

.

[Citat] (si la asta nus sigur) 4. Fie sistemul de ecuatii x + y = 1 2x + ay = b a,b, din R a)Se cere a a.i. sistemul sa aiba solutie unica b)Sistemul este compatibil nedeterminat daca si numai daca b apartine multimii...?

La punctul (a) punem conditia ca determinantul sistemului sa fie nenul, de unde

. La punctul (b) ceva nu e in regula, deoarece conditia depinde si de parametrul a. In orice caz, DACA sistemul e compatibil nedeterminat rezulta a=b=2.

[Citat] % 5. % lim (e^n + 2) ^(1/(n^2)) , (mie mi-a dat 1 dar nu-s sigur daca e bine) % n->infinit

Deoarece pentru n suficient de mare avem

limita este, intr-adevar, egala cu unu (regula clestelui).

1.Fie a din R si f:R->R

Se cere a a.i. f sa aiba un numar maxim de puncte de continuitate

2. Fie f:R->R]

Se cere numarul punctelor de continuitate ale functiei

3.Se cere multimea punctelor de continuitate ale functiei

Corectura Admin la codul LaTeX

[Citat] 1.Fie a din R si f:R->R Se cere a a.i. f sa aiba un numar maxim de puncte de continuitate 2. Fie f:R->R f(x) = 2^x , x din Q ; f(x) = x^2 , x din R/Q Se cere numarul punctelor de continuitate al functiei 3.Se cere multimea punctelor de continuitate al functiei f:R->R , f(x) = max(-x,x,x^2,x^3}

Sper ca asa functa f arata mai bine.

[Citat] 1.Fie a din R si f:R->R Se cere a a.i. f sa aiba un numar maxim de puncte de continuitate

Punctele de continuitate sunt solutiile ecuatiei

E clar ca parametrul a trebuie sa fie pozitiv. Ecuatia devine

. x=0 este intotdeauna solutie. Pe intervalul

nu exista solutii, deoarece una din functii este crescatoare, iar cealalta strict descrescatoare. Deoarece

este convexa, pe intervalul

mai exista inca o solutie daca si numai daca

(membrul drept este derivata functiei

in zero). raspunsul este

[Citat] 2. Fie f:R->R] Se cere numarul punctelor de continuitate ale functiei

Numarul cerut coincide cu numarul solutiilor ecuatiei

. Deoarece zero nu este solutie, ecuatia este echivalenta cu

Expresia din dreapta defineste o functie f pe

. Derivata acestei functii are expresia

Deoarece

si

, ecuatia are cate o solutie pe fiecare din intervalele de mai sus (doua dintre solutii sunt 2 si 4, cea de a treia este aproximativ -0.7495). Raspunsul este TREI puncte. Graficul de mai jos contine functia f si functia

. Evident, cele doua functii au aceleasi radacini.

[Citat] 3.Se cere multimea punctelor de continuitate ale functiei

Functia este continua pe

. In principiu, daca f si g sunt continue intr-un punct atunci si max(f,g) este continua in acel punct. Motivul:

Fie functia

. Se cere

[Citat] Fie functia . Se cere

Folosind repetat regula lui l'Hopital, calculam mai intai

Atunci