[Citat] 1035. Se cere a pt care este izomorfism al grupului (M_2(Z),+)

Raspunsul este

. Problema similara in baza noastra de date.

[Citat] 1033. Se cere numarul punctelor de extrem al functiei

Numarul punctelor de extrem coincide cu numarul radacinilor derivatei (prima si a doua derivata nu au radacini comune). Raspunsul este: doua puncte de extrem. Avem o alta problema similara in baza de date.

[Citat] 1034. Se cere integrala

Valoarea integralei este

. Ideea este sa consideram integralele

Atunci obtinem sistemul

care este usor de rezolvat. Iata si o problema similara.

[Citat] 1026. Fie Se cere limita(n->infinit) [ f(derivat de n ori)(1/n) / f(derivat de n ori)(0).

Formula derivatei de ordinul n este

, deci limita este

Super rezolvari!

1.

Se cere integrala(de la 1 la 4) din (x^2-3x+2)/(x^3+8)dx , x>0.

(eu am impartit in 2 integrale I =integrala(1 la 4) (x^2-2x+4)/(x^3+8)dx si am scazut J = integrala(1,4) (x+2)/(x^3+8)dx dar numi da nici cum rezultatul corect)

2.
lim [x^3-(arctgx)^3]/(x^5)
x->0

(la asta am incercat cu L'Hospital da sigur este vreo metoda mai eficienta)

[Citat] Super rezolvari! 1. Se cere integrala(de la 1 la 4) din (x^2-3x+2)/(x^3+8)dx , x>0. (eu am impartit in 2 integrale I =integrala(1 la 4) (x^2-2x+4)/(x^3+8)dx si am scazut J = integrala(1,4) (x+2)/(x^3+8)dx dar numi da nici cum rezultatul corect)

Descompune in fractii simple! Aceasta este metoda care functioneaza intotdeauna in "lumea reala".

valoarea integralei este

[Citat] 2. lim [x^3-(arctgx)^3]/(x^5) x->0 (la asta am incercat cu L'Hospital da sigur este vreo metoda mai eficienta)

Expresia de sub limita este

Al doilea factor converge la 1+1+1=3. Primul factor, cu l'Hopital are limita

Toata sandramaua converge la 1.

Multumesc.
1.
Se cere
lim[integrala(dela 0 la 1) x^n*cos(x^n)]/[integrala(de la 0 la 1) x^n*ln(1+x)]dx
x->infinit
2.
Se cere interala de la 0 la 3pi din dx/(2+cosx)
3.
Fie a real , si P din R[X] un polinom cu proprietatea
P(1)+P(2)+...+P(n) = n^7 + a , n natural diferit de 0
Se cere P(a).
4.
Se cere multimea vaolirlor lui m real a.i. ecuatia
2^x + 3^x = mx+2 sa aiba numar minim de solutii
5.
Se cere limita sirului
xn= {(3+2sqrt(2))^n}^[(3+2sqrt(2))^n] , unde {x} - partea fractionara a lui x , n natural

[Citat] Multumesc. % 1. % Se cere % lim[integrala(dela 0 la 1) x^n*cos(x^n)]/[integrala(de la 0 la 1) x^n*ln(1+x)]dx % x->infinit

Banuiesc ca ai vrut sa scrii n->infinit. Aceasta este o problema care iarasi depaseste programa. Se poate face in limitele programei, dar cu complicatii inutile. Ideea este sa integrezi prin parti atat numaratorul cat si numitorul:

Este oarecum clar ca integralele din ultima fractie tind la zero: integrala de la numarator contine

care converge punctual la zero (aici putem aplica o teorema de convergenta pentru integrale ce se studiaza in facultate, SAU ne chinuim un pic cu epsilon si delta). Integrala de la numitor este pozitiva si se majoreaza cu

, deci tinde si ea la zero.

[Citat] % 2. % Se cere interala de la 0 la 3pi din dx/(2+cosx)

Folosim substitutia trigonometrica standard

. Atunci

Problema e ca nu putem aplica acest fapt pe intreg intervalul

, deoarece functia tangenta NU este definita pe tot intervalul. In schimb, nu este greu de observat ca, deoarece graficul functiei cosinus are dreptele

ca axe de simetrie, avem

Nu vreau sa intru in amnunte legate de integrala improprie de mai sus.

[Citat] % 3. % Fie a real , si P din R[X] un polinom cu proprietatea % P(1)+P(2)+...+P(n) = n^7 + a , n natural diferit de 0 % Se cere P(a).

Scrii relatia pentr n si n-1, scazi, si...

Fiind polinom, rezulta

, deci a=0 si

.

[Citat] % 4. % Se cere multimea vaolirlor lui m real a.i. ecuatia % 2^x + 3^x = mx+2 sa aiba numar minim de solutii

Functia

este convexa, derivata ei are limita infinit catre infinit respectiv 0 catre minus infinit. De asemenea, x=0 este intotdeauna o solutie. cazurile in care ecuatia are solutie unica sunt:

• Panta functiei liniare din membrul drept este negativa:
  
  
  
• Panta functiei liniare din membrul drept este EGALA CU DERIVATA membrului stang in x=0, adica:
  
  
  

Asadar,

[Citat] % 5. % Se cere limita sirului % xn= {(3+2sqrt(2))^n}^[(3+2sqrt(2))^n] , unde {x} - partea fractionara a lui x , n natural

Fie

. Atunci

(binomul lui Newton), dar

. Cum A>1>B, rezulta

Deoarece puterile lui A converg la infinit, limita este egala cu

Se cere integrala de la -1 la 1 din arccosx/(1+x^2)dx(s-a dat la simulare)

[Citat] Se cere integrala de la -1 la 1 din arccosx/(1+x^2)dx(s-a dat la simulare)

Folosim identitatea

si separam in diferenta a doua integrale. Prima este egala cu

iar a doua este 0 fiind integrala pe interval simetric a unei functii impare.

[Citat] Se cere integrala de la -1 la 1 din arccosx/(1+x^2)dx(s-a dat la simulare)

In punctul anterior se cere suma arcsinx+arccosx care in nrealitate este (pi)/2.Din egalitatea aceasta se scoate arccox=pi/2-arcsinx. Se inlocuieste numaratorul intrgralei, se desface in doua integrala. Prima se poate calcula si da (pi)^2/4, iar a doua integrala este o(zero), fiind integrala dintr-o functie impara pe un interval simetric fata de zero. Deci rezultatul este (pi)^2/4.
Smechera problema!! Defapt a fost punctul forte al testului!