1. Multimea parametrlui m pt care

log(baza2)(x*x + m) + m >= 2* log(baza2)( x) + 1/4

2. Imaginea functiei f : R -> R ,f(x) = (3 * x *x + m * x + n ) / x*x + 1 este [-4,3) daca m = ? si n = ?

3. Sistemul x*x + y*y = z , x + y + z = a are o singura solutie (x,y,z,) din R X R X R daca a = ?

Din problema nr. 1 am impresia ca lipseste ceva de genul "oricare ar fi x din R"
Pentru problema nr. 2 incearca sa reprezinti grafic functia f pentru m=0 si n=-4
Pentru problema nr.3 raspunsul este a=-1/2, si solutia este (-1/2,-1/2,1/2) dar pentru redactarea solutiei as avea nevoie de Latex, ori la asa ceva nu pricep deocamdata
Succes

1. Oricare ar fi x > 0
2. Cum ai ajuns la aceste valori ?

Mersi oricum pt ajutor

legat de nr 2
limita functiei este +3 la fiecare infinit, indiferent de m si n
Din aceasta cauza imaginea functiei este un interval deschis la 3
Derivata functiei este o functie rationala de gradul doi/gradul patru
Doua puncte de extrema strica jocul
obligam numaratorul sa fie de gradul unu
rezulta m=0 si punctul de ectrema ramasa este x=0
punem conditia f(0)=-4 si rezulta n=-4
Este putin cam tras de par, dar merge
Poate vine Domnul Pitagora si arata ceva mai elegant
Exista si o solutie algebrica, dar este mai chinuitoare
Salut

[Citat] 2. Imaginea functiei f : R -> R ,f(x) = (3 * x *x + m * x + n ) / x*x + 1 este [-4,3) daca m = ? si n = ?

Vrem sa determinam m,n astfel ca

pentru orice x real. Aducand la acelasi numitor, inegalitatile sunt echivalente cu

Din a doua inegalitate se impune m=0 (o inecuatie de gradul intai nu poate avea ca solutii toate numerele reale). Substituind in prima obtinem

. In plus trebuie sa intelegem si ca vrem ca egalitatea trebuie atinsa. Se impune atunci n+4=0, care se vede ca satisface si a doua inegalitate.

[Citat] 3. Sistemul x*x + y*y = z , x + y + z = a are o singura solutie (x,y,z,) din R X R X R daca a = ?

Substituind pe z, a doua ecuatie devine

, sau

. Aceasta ecuatie are solutie unica doar cand

. Intr-adevar, pentru

este o ecuatie imposibila, iar pentru

avem ecuatia unui cerc, deci o infinitate de solutii. Deci

, si atunci

[Citat] 1. Multimea parametrlui m pt care log(baza2)(x*x + m) + m >= 2* log(baza2)( x) + 1/4, pentru orice x>0

Inegalitatea se scrie

, sau

.
Cum functia logaritm de baza 2 este strict crescatoare, inegalitatea este echivalenta cu

Studiem cazurile

i) m<0. Limita in 0 a membrului stang este -infinit, deci inegalitatea nu poate fio satisfacuta pentru orice x>0

ii) m=0. Inegalitatea este in acest caz

, fals.

iii) m>0. Inegalitatea se rescrie

. Membrul stang are infinimum 0 cand x tinde la infinit, deci inegalitatea se reduce la

. Cum m este pozitiv, obtinem

.

Ms.

Fie f:R-> B, a.i. (x^2 - 3*x + 2)/ (x^2 + x + 1) surjectiva. Sa se det B.
Fie f(x) = 2 * x^4 + x^3 + m*x^2 + x + 2 , m real . Se cere m a.i. f(x) sa aiba toate radacinile reale .

Eu am impartit prin x^2 , am notat x + 1/x cu y => 2*y^2 + y + m-4 = 0 , de aici discriminantul >= 0 => m <= 33/8.

Cred ca aici m-am impotmolit..

[Citat] Ms. Fie f:R-> B, a.i. (x^2 - 3*x + 2)/ (x^2 + x + 1) surjectiva. Sa se det B.

Se poate lua B=R (toate numerele reale) si functia este bine definita. Banuim
ca de fapt se cere imaginea lui f. In acest caz, pentru ecuatia f(x)=y, se aduce la acelasi numitor, s earanjeaza ca o ecuatie d egradul doi in x si se pune conditia sa aiba radacini reale. Rezolvand inecuatia data de discriminant se gasesc valorile acceptabole ale lui y. Aceasta este imaginea lui f.

[Citat] Fie f(x) = 2 * x^4 + x^3 + m*x^2 + x + 2 , m real . Se cere m a.i. f(x) sa aiba toate radacinile reale . Eu am impartit prin x^2 , am notat x + 1/x cu y => 2*y^2 + y + m-4 = 0 , de aici discriminantul >= 0 => m <= 33/8. Cred ca aici m-am impotmolit..

Mai trebuie pusa conditia ca ecuatia de gradul doi in y sa aiba radacinile mai mari sau egale cu 2 in modul.

[Citat] Mai trebuie pusa conditia ca ecuatia de gradul doi in y sa aiba radacinile mai mari sau egale cu 2 in modul.

De ce ?

[Citat] [Citat] Mai trebuie pusa conditia ca ecuatia de gradul doi in y sa aiba radacinile mai mari sau egale cu 2 in modul. De ce ?

S-a notat

. Pentru ca aceasta ecuatie sa aiba radacini reale (dupa ce se aranjeaza ca ecuatie de gradul doi in x) se pune conditia ca discriminantul sa fie pozitiv sau zero, ceea ce conduce exact la

, conditie ce revine la