\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ { 2 }^{ n } } \sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { { C }_{ n }^{ k } }{ \sqrt { k } } } }

Trebuie sa bag cele de mai sus
- intre [ equation ] si [ /equation ] (fara spatii, desigur),
- apoi intre $$ si $$ sau \[ si \]
ca sa vad care e limita mai intai.

[Citat]

da aceasta este limita

Ati incercat Cesaro-Stolz?

Din pacate, Cesaro-Stolz nu functioneaza, cel putin nu mi-a iesit mie aplicatia.
Pentru a nu pierde in neant aceasta problema, voi posta solutia ce necesita cunostinte speciale, solutie care este insa cea mai naturala in contextul dat.

Deoarece avem computere, un lucru foarte bun este sa le lasam sa calculeze suma de mai sus cu radicalul din n cu tot pentru n = 1 00 00 .
Cod PARI/GP:

n = 10000;
sqrt(n) * sum( k=1,n, 1./sqrt(k) * binomial(n,k) ) / 2.^n

Dupa copiere si lansare in interpreterul pari...

? n = 10000;
? sqrt(n) * sum( k=1,n, 1./sqrt(k) * binomial(n,k) ) / 2.^n
%2 = 1.414266606986668631313891135
?
? sqrt(2.)
%3 = 1.414213562373095048801688724


Sper ca experimentul este suficient de convingator.
Nota: Cunostintele de mai sus le datorez domnilor Tudor si Cuculescu.
Decenii dupa facultate, aceste lucruri au devenit esentiale in cadru fianciar, un fel de munca (nu chiar a mea, a colegilor) de zi cu zi.