1. Fie x si y date de relatia:

. Sa se calculeze

evaluat la x=1

Intrebarea este trebuie calculat y in functie de x dupa care derivat ??



2. Sa se calculeze

O sa rescriu incat sa nu mai fie dubii:

[Citat]

La (1) sper ca nu mai sunt dubii.
Se aplica teorema funciilor implicite (daca se poate aplica..).
Daca exista local o astfel de unicafunctie x -> y(x), atunci putem deriva in (*) dupa x. Ce obtinem pe post de y'(1) ?

La (2) nu este clar in ce sens se cere calculul.
De exemplu am putea incerca sa dam mai intai un "calcul" pentru cos^2(x)...
Ce vrea problema de fapt?

la 1 tot nu am inteles
trebuie calculat y(x) ??

2.

la finalul calcului trebuie sa am ceva de forma :

nu am idee cum sa ajung la acel ????

[Citat] la 1 tot nu am inteles trebuie calculat y(x) ?? 2. la finalul calcului trebuie sa am ceva de forma : nu am idee cum sa ajung la acel ????

La (1) nu se cere decat y'(x).

Toate lucrurile pe care le-am scris prin jur sunt cele ce asigura existenta lui y( . ) ca functie implicita local in jurul lui 1. Acest lucru este important, pentru ca problema este una de matematica, nu una de aplicat schematic cunostinte despre derivata.

Banuiesc ca exercitiul a aparut la o facultate sau alta.
Inteleg ca studiul nu lasa mult timp liber, in cazul de fata insa, rog a se lua din timp si scrie care este enuntul teoremei functiilor (sau functiei) implicite (TFI), asa cum a fost el prezentat la curs.

Notatia mea a incercat sa vina in intampinarea celor ce au inteles materia de liceu. Acel dy/dx nu este altceva decat "exista o functie x -> y(x) care rezolva dependenta implicita, o notam tot cu y, care este derivata ei dupa variabila ei, notata cu x?" In enunt nu se cere mai departe aceasta functie y, deoarece nu se poate "scrie explicit". Ceea ce putem calcula este insa derivata lui y in punctul 1.

TFI asigura derivabilitatea.
Cu cunostintele de clasa a XI-a, derivand apoi in relatia (*) de mai sus o data, implantand apoi in loc de x acel 1 putem da de y'(1). Care este deci aceasta valoare.

La (2) se cere se pare dezvoltarea Taylor (in polinom) de gradul I a unei functii in jurul unui punct (care este x). (Este de datoria celui ce plaseaza problema sa stie si sa descrie cum trebuie ce se cere.)

Lucrurile stau simplu.

Ca sa se vada cat de simplu, o sa calculez chiar mai mult, anume polinomul Taylor de grad III .

Problema a cerut doar modulo O(h^2), deci avem de luat doar primii doi termeni.
Putem cere cele de mai sus si masinii de calcul:

sage: var( 'x,h' );
sage: taylor( cosh(x+h)^2, h, 0, 1 )
2*h*sinh(x)*cosh(x) + cosh(x)^2
sage: sinh(2*x).expand_trig()
2*sinh(x)*cosh(x)


Am scris mai mult, deoarece sper ca asa se intelege ceva.
(Am facut experienta ca daca scriu mai putin, de obicei "se intelege totul imediat", desi din matematica nu se intelege nimic.)

derivand functia (*) am obtinut:

daca inlocuiesc pe x cu 1 obtin:

dar am

si m-am blocat

Mai sus sunt pur si simplu prea multe greseli.

In primul rand, cum se deriveaza produsul de functii
y(x) ln(x)
dupa x?

Apoi cum se deriveaza compunerea
y(x)^3
dupa x?

In plus in ultima relatie apare deoadata o derivata a lui y. (Care apoi se ridica la patrat.)

Nu e nici o problema, aici e un loc bun de facut cat se poate de multe greseli.
Asadar, cum stau lucrurile de fapt?

daca inlocuiesc x =1 si y(1)=-1

pentru 2) am gasit acel ????

multumesc pentru indicatii