[Citat]

Cuvantul determinati nu este cel potrivit...

Incerc sa schitez un drum experimental care duce repede la solutie.
In primul rand vedem ca daca il lasam pe f(1) sa fie un parametru a, atunci dam de o ecuatie in necunoscuta f(2). Ecuatia este urmatoarea, scrisa explicit:

1 + a f(2) = 2( f(2)-a ) .

Poate a sa fie 2 ? Nu. Dam de o solutie unica daca a nu este 2.
Trecem la ecuatia urmatoare, o rezolvam si asa mai departe.
Iata care sunt pe rand f-urile:


sage: var( 'a,b,n');
sage: eq(a,b,n) = ( 1 + a*b == 2^n * (b-a) );

sage: f = {}
sage: f[1] = a
sage: for k in [2..10]:
....: f[k] = solve( eq( f[k-1], x, k-1 ), x, solution_dict=True )[0][x]
....:
sage: import pprint
sage: pprint.pprint(f)
{1: a,
2: -(2*a + 1)/(a - 2),
3: -(7*a + 6)/(6*a - 7),
4: -(10*a + 11)/(11*a - 10),
5: -(149*a + 186)/(186*a - 149),
6: -(4582*a + 6101)/(6101*a - 4582),
7: -(16891*a + 23238)/(23238*a - 16891),
8: -(427762*a + 598271)/(598271*a - 427762),
9: -(108908801*a + 153585138)/(153585138*a - 108908801),
10: -(4277516998*a + 6057269189)/(6057269189*a - 4277516998)}


Vedem ca de fiecare data f(n) se obtine aplicand o transformare Möbius de forma

[ +A(n) +B(n) ]
[ -B(n) +A(n) ] pe a.

Nota / Notatie: Matricea
[A B]
[C D]
actioneaza
(Möbius, prin transformari homografice pe romana)
pe un t real/complex/proiectiv producand valoarea
(At+B) / (Ct+D) .

Este important de vazut ca inmultirea matricilor corespunde compunerii de aplicatii Möbius.

De exemplu f(1) corespunde aplicarii lui
1 0
0 1 pe a .

De exemplu f(2) corespunde aplicarii lui
+2 1
-1 2 pe a .

Si asa mai departe. Ramane sa gasim regula care produce numerele A(n) si B(n).
Pentru aceasta este bine sa stim sa diagonalizam matricile de forma

[ a b ]
[-b a ]

care are valorile proprii a+ib si a-ib. Vectorii proprii sunt...
si ei sunt comuni pentru toate alegerile de a-uri si b-uri.

De exemplu,

sage: for n in [1..10]:^J print n, '->', prod( 2^k+i for k in [1..n] )
....:
1 -> I + 2
2 -> 6*I + 7
3 -> 55*I + 50
4 -> 930*I + 745
5 -> 30505*I + 22910
6 -> 1975230*I + 1435735
7 -> 254265175*I + 181798850
8 -> 65273683650*I + 46286240425
9 -> 33466412269225*I + 23633281413950
10 -> 34293239445100350*I + 24167013755615575


Sper ca este clar de unde vin numerele de si mai sus din cele de mai sus...

De exemplu linia cu
5: -(149*a + 186)/(186*a - 149)
corespunde faptului ca avem "tangenta" pentru
4 -> 930*I + 745
egala cu
sage: 930 / 745
186/149

(Matricea din transformarea Möbius mai admite ajustari folosind matrici diagonale...)

Trebuie sa ma opresc aici, trebuie sa ma culc curand ca sa ma scol curand.


Nota: Parametrul a poate fi ales aiurea, exceptand cele "cateva" valori in care se anuleaza numitorii....

Nota: Inelul matricilor M(a.b) de forma
[a b]
[-b a]
cu numere a,b din Q (rationale) este izomorf cu corpul Q[ i ] al numerelor algebrice de forma a+bi. Un izomorfism este dat de trimiterea matricii M(a.b) de mai sus in a+ib. Celalalt este trimiterea in a-ib.
In particular, inelul acestor matrici este un corp.


Care este sursa problemei?

Problema este parte din "tema de clasa" (mai are profu' niste agende cu probleme si ne mai da de acolo)!

Problemele sunt interesante, nu ma plang.

Dar la nivel de tema de casa lucrurile sunt putin cam exagerate.
(Si putin imprecis formulate, acel "determinati" m-a facut sa iau problema inserios. Am crezut pentru o secunda chiar ca parametrul "a" are din cauza de anulare de numitori doar cateva sanse. Eu l-as intreba pe cel ce a pus problema la clasa, asa doar, cum "determina" el functia... Macar o solutie dintre cele multe, poate este determinat insusi sa inteleaga realitatea.)

Fie am fost eu obosit si am rezolvat o alta problema (cu o alta ecuatie functionala), fie am rezolvat problema care trebuie si atunci a fost pentru mine o tema de casa cat de cat educativa. Si eu am un fel de agenda a mea, ma bucur de orice problema pe care pot sa o inserez...