Dupa cum se vede, folosirea calculului simbolic ofera ceva mai mult decat se poate crede din "mandrie si prejudecata".
Tot asa cum de exemplu in fiecare limbaj de programare cat de cat etablat (C++, java, pascal, python,... ) avem nenumarate librarii / biblioteci de facut pagini de net si de prelucrat imagini, care pot face din zbor lucruri pe care nu le credeam cu putinta cu un deceniu in urma, iata ca avem o situatie similara si in implementarea calculului simbolic!
In cazul de fata, putem chiar cere "solutia", daca stim / incercam sa o cerem.
O ultima observatie in legatura cu modul in care apar astfel de probleme.
Autorul - foarte probabil - a plecat de la solutie, de la expresia de mai sus in N, singura lui grija a fost sa ia o expresie care se anuleza "la capat" (in minus unu). a scazut din ea aceasi expresie pentru (N-1), deoarece expresia este foarte "inmultitoare" (multiplicativa) a putut da foarte multe lucruri factor comun, ramane un calcul cu fractii, se efectueaza, ceea ce obtine este desigur un lucru numai bun de "telescopit", dar cel ce cauta scrierea corespunzatoare are mici greutati. Este putin probabil ca o astfel de problema apare in mijlocul unei probleme de combinatorica "cu structura", de aceea avem de-a face cu o tema speciala. Daca o rezolvam deprindem o rutina si o anumita confidenta. (Fiecare ajunge la rezultat printr-o metoda sau alta, data viitoare omul mai are o metoda i tolba si poate decide daca este aplicabila.) Pe scurt, un exercitiu foarte bun. Eu am gasit solutia tot pe calculator, lasand calculatorul sa imi printeze primele sume.
In cazul meu, am incercat doar doua lucruri:
sage: var( 'n' );
sage: for n in [1..10]:
....: print n, '->', sum( [ ( 2*n-3*k-2) / (k+1) / (k+2) * 2^k * binomial( n,k ) for k in [0..n-1]] )
....:
1 -> 0
2 -> 1/3
3 -> 1
4 -> 11/5
5 -> 13/3
6 -> 57/7
7 -> 15
8 -> 247/9
9 -> 251/5
10 -> 1013/11
sage: for n in [1..10]:
....: print n, '->', sum( [ ( 2*n-3*k-2) / (k+1) / (k+2) * 2^k * binomial( n,k ) for k in [0..n-1]] ) * (n+1)
....:
1 -> 0
2 -> 1
3 -> 4
4 -> 11
5 -> 26
6 -> 57
7 -> 120
8 -> 247
9 -> 502
10 -> 1013
Mai intai am cerut valorile sumei pentru primele valori ale lui n.
Am incercat sa ghicesc formula, dar nu am putut.
In orice caz, numitorii aparuti (mai ales pe langa numere n prime) mi-au spus sa incerc sa inmultesc suma cu (n+1).
Am facut acest lucru si am dat doar de intregi. Cel tarziu cand am vazut 502 si 1013 (si faptul ca pas cu pas aproape in ultesc cu 2) formula putea fi scrisa.
Din motiv psihologic am cautat expresia telescopica care m-ar duce la solutie...
Access general
Conţine mesaje necitite
