Sa se determine intervalele de convexitate si de concavitate ale functiei f:D?R:
1) f(x)= x/1-x² ;
2) f(x)= x²lnx ;
3) f(x)= xsin(lnx)

[Citat] Sa se determine intervalele de convexitate si de concavitate ale functiei f:D?R: 1) f(x)= x/1-x² ; 2) f(x)= x²lnx ; 3) f(x)= xsin(lnx)

Care este D-ul de la caz la caz?
Aceasta este problema de clasa a X-a pe care trebuie sa o rezovam inainte de toate.

In plus:
(1) Acel x/1 se simplifica cumva si problema este de a intelege concavitatea parabolei data de x -> x-x² ?

1) f(x)= x/1-x² ;
f'(x) = (x/1-x²)'= (x)'(1-x²)-x(1-x²)/(1-x²)²= 1(1-x²)- x*2x/(1-x²)² = 1-x²-x-2x/(1-x²)²
f"(x) = (-x²-3x-1)'= -2x-3= x= -3/2 ( dar nu stiu cum sa continui)

[Citat] 1) f(x)= x/1-x² ; f'(x) = (x/1-x²)'= (x)'(1-x²)-x(1-x²)/(1-x²)²= 1(1-x²)- x*2x/(1-x²)² = 1-x²-x-2x/(1-x²)² f"(x) = (-x²-3x-1)'= -2x-3= x= -3/2 ( dar nu stiu cum sa continui)

Bun! O sa scriu cateva lucruri in speranta ca ajuta, dupa parerea mea asa se explica cel mai usor.

In primul rand este important sa scriem
x / (1-x²) ,
unde nu spatiile, ci parantezele sunt importante (mai intai).
Aceleasi paranteze sunt importante si dupa...

Apoi trebuie sa vedem ca functia de mai sus este definita pe domeniul maxim
D
= axa reala fara punctele -1 si 1 unde se anuleaza numitorul
= ( -oo, -1) U (-1,1) U (1,+oo ) ca reuniune disjuncta de trei intervale.

Acum derivam o data pentru a vedea care este monotonia.
Apoi derivam o a doua oara pentru a vedea care este convexitatea / concavitatea.

Apoi scriem toate functiile si incercam sa depistam semnul expresiilor pe care le obtinem. Pentru aceasta este cel mai bine daca FACTORIZAM.

Sa scriem asadar un tablou de variatie.
O sa ma ocup doar de prima derivata. Trec la LaTeX ca sa pot sa scriu matematica in mod normal, dupa cum se vede putin latex ajuta...

Acum mai trebuie sa completam tablelul si cu derivata a doua.

Mai intai, care este fara greseli de calcul derivata a doua a lui f?

Apoi care sunt semnele in numarator si in numitor catre +oo ?
Apoi ori de cate ori trecem peste un zerou sau "pol" (zerou in numarator, respectiv zerou in numitor) ne gandim cum se schimba semnul.

Ca sa se vada diferenta dintre solutie si intelegere, recomand o trecere pe la
http://www.wolframalpha.com/examples/PlottingAndGraphics.html
apoi mai exact...

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+x%2F%281-x%5E2%29

(Cele de mai sus trebuie copiate si introduse in campul de adresa html al navigatorului...)

Deci: Care este a doua derivata in forma factorizata (a numaratorului).
(wolfram alfa poate ajuta...)

De exemplu:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=differential&a=*C.differential-_*Calculator.dflt-&f2=x+%2F+%281-x%5E2%29&f=Derivative.derivativefunction_x+%2F+%281-x%5E2%29&a=*FVarOpt.1-_**-.***Derivative.derivativevariable---.*--&x=0&y=0

Dar desigur ca asa ceva nu se poate lua (in mod cinstit uman, nu in mod practic) in sala de examen.