Sa se determine punctele de inflexiune ale functiei f: D?R:
1) f(x)=x + x la puterea 5/3;
2) f(x)=x + sinx;
3) f(x) =a la puterea 3 / a²+x² (a>0);

[Citat] Sa se determine punctele de inflexiune ale functiei f: D?R: 1) f(x) = x + x la puterea 5/3; 2) f(x) = x + sinx; 3) f(x) = a la puterea 3 / a²+x² (a>0);

Am mai avut cateva exercitii lasate in aer...
De aceea din nou:
Care este domeniul D la (1) ? Puterea lui x din al doilea termen este 5 sau (5/3) ? (Rog a se intelege ca asa ceva este important!)

Care este domeniul D la (2) ?

Care este domeniul D la (3) si mai ales care este formula corecta scrisa pentru f(x)? Banuiesc ca la primul pas nu simplificam in a³ / a² . Daca nu simplificam rog a se pune parantezele.

Apoi, care sunt derivatele de ordin I si II ale celor trei functii.
Aceste lucruri trebuie stiute. Daca nu se intelege ceva la capitolul derivate, nici o problema, ne luam timp si derivam. Dar pentru asta trebuie scrise propozitii...

1) f(x)=x + x la puterea (5/3);
2) f(x)=x + sinx;
Eu la acestea am aflat la 1) f'(x)=(x+x la puterea(5/3)'=(x)'+(x la puterea5/3)'=1+5/3*x la puterea (2/3)
f"(x) = (1+5/3*x la puterea (2/3))'= 5/3*(inmultit)2/3*x la puterea -1/3 ( iar mai departe nu stiu);
2) f'(x) = (x + sinx)'= (x)'+(sinx)'=1+cosx
f"(x) = -sinx ( mai departe nu prea stiu cum)

3) f(x) = a³ / a² + x² (a>0)

[Citat] 1) f(x)=x + x la puterea (5/3); am aflat la 1) f'(x) = (x+x la puterea(5/3)' = (x)'+(x la puterea5/3)' = 1 + 5/3*x la puterea (2/3) f"(x) = (1+5/3*x la puterea (2/3))' = 5/3*(inmultit)2/3*x la puterea -1/3 ( iar mai departe nu stiu);

Bun!

In primul rand trebuie sa stim ca un punct de inflexiune este un punct in care se schimba convexitatea graficului, se trece de la o parte (locala) convexa la una (locala) concava, sau invers. Cel mai simplu exempul este litera

S

cand incercam sa o scriem cu creionul,
sau sa ne plimbam cu masina pe asa ceva,
sau sa dansam si sa schitam in aer cu mana acest contur,

este imposibil sa nu vedem ca in mijlocul acestui S se schimba ceva.
Este locul in care daca "am face mai departe la fel" am da de un "o", dar schimbam curbura, (semnul curburii), este locul in care la patinaj trebuie sa trecem echilibrul de la un picior la altul.


La (1) este asa ca trebuie sa vedem unde este definita fiecare din functiile f, f', f'' si sa vedem ce putem analiza din convexitate / concavitate cu aceasta informatie.

f este definita pe D = IR si ia valori in IR. Nu avem probleme.
f' exista si este bine definita pe acelasi D = IR (si ia valori in IR). Nu avem probleme. Este nevoie sa mergem la derivata urmatoare. Dar f' nu este o functie derivabila in 0, asadar trebuie sa il consideram pe 0 mai indeaproape.

f'' este in afara lui zero data de expresia de mai sus(5/3) (2/3) x^(-1/3) .
Care este semnul acestei functii
--> pentru x<0 (de exemplu in x=-8 sau x=-1) ?
--> pentru x>0 (de exemplu in x=+8 sau x=+1) ?

Apoi mai vedem.
Este un punct simplu, trebuie sa facem aici un mic popas... Nu este nici un fel de ghicitoare sau prinzatoare...

[Citat] (2) f(x)=x + sinx; f'(x) = (x + sinx)' = (x)'+(sinx)' = 1 + cosx f"(x) = -sinx

Excelent!
Unde se anuleaza functia f'' de mai sus? De exemplu doar pe fasia de la -2 pi la 2 pi .
Care sunt semnele acestei functii pe intervalele dintre doua anulari (pe aceeasi fasie) ?

Acest exemplu este asa de frumos si fundamental, incat trebuie inteles!

Trebuie sa cetuim putin mai pe indelete, suntem foarte aproape de intelegerea diferentei dintre ceaun si umbrela...