Calculati:
a)

b)

c)

d)

.

Toate sunt sume calculabile prin telescopare. Face?i un mic efort.

Am incercat, dar nu mi-a iesit! Chiar prin telescopare am incercat, deoarece acestea sunt cateva subpuncte de la o problema cu doua zeci si ceva de subpuncte, dintre care doar pe acestea nu le-am stiut .

[Citat] Calculati: a) [/equation].

Scriem cum trebuie pe hartie
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1

si incerca sa vedem ce vrea problema de la noi daca k=3 si n=...

Problema se rezolva imediat daca coloram usor altfel:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1

"Telescopul binomial" se vede sub forma de avalansa...
Coeficientii binomiali sunt definiti de asa natura incat se aduna conform schemei

* *
\/
*

Ei bine, mai sus acel 4+1 da de 5-ul de mai jos.
Apoi 10+5 ...

[Citat] Calculati: c) [/equation].

Idea este de a cauta ceva de forma

(k^2+k-1) / (k+2)!
=
A / k! + B / (k+1)! + C / (k+2)!

si avem o "situatie telescopica" daca din intamplare A+B+C = 0.
La noi dam de 1, -2, 1.

De fapt, folosind o masina de calcul si limita de la ZERO, asa cum e normal (si asa cum nu stricam problema):
? for( n=0,10, S = sum( k=0,n, (k^2+k-1) / (k+2)! ); print( n, " -> ", - S *(n+2)! / (n+1) ) )
0 -> 1
1 -> 1
2 -> 1
3 -> 1
4 -> 1
5 -> 1
6 -> 1
7 -> 1
8 -> 1
9 -> 1
10 -> 1

(d) Prin oblojiri repetate am obtinut experimental:

? f(k) = ( k^3 + k^2 -2*k - 1 ) / (k+1)!^2

%9 = (k)->(k^3+k^2-2*k-1)/(k+1)!^2

? S(n) = sum( k=0, n, f(k) )
%10 = (n)->sum(k=0,n,f(k))

? for( n=0,10, print( n, " -> ", S(n) *(n+1)!^2 + (n+1)!^2 + n) )
0 -> 0
1 -> 0
2 -> 0
3 -> 0
4 -> 0
5 -> 0
6 -> 0
7 -> 0
8 -> 0
9 -> 0
10 -> 0


Sper ca se poate izola acum formula lui S(n).
Din nou am luat suma de la ZERO.
(In problema cred ca e de la unu.)

Cum am facut?
Am luat formula pentru suma... S(n) (luata din prima de la zero la n).
Am printat

mai intai S(n)-urile,

apoi S(n) *(n+1)!^2 - urile, lucru usor cand mai uit la valori si numar de zerouri,

apoi le-am oblojit, dupa de am vazut ceva de forma
for( n=0,10, print( n, " -> ", S(n) *(n+1)!^2 ) )
0 -> -1
1 -> -5
2 -> -38
3 -> -579
4 -> -14404
5 -> -518405
6 -> -25401606
7 -> -1625702407
8 -> -131681894408
9 -> -13168189440009
10 -> -1593350922240010
Cine vede 579 si 14404 nu are alta sansa...

Acest tip de solutionare este unul "experimental", care in cazul de fata mi s-a parut mai usor decat cel in care caut polinoame de k...

Dupa ce avem formula o demonstram desigur usor prin inductie...