Eram dator cu niste rezolvari: (Repostez problemele cu solutiile)
1.Fie

, a.i. b>a>1 si c=b-a. Rezolvati in IR ecuatia:

Rezolvare:
Se observa ca x=b este solutie. Ecuatia data se mai poate scrie sub forma:

Notam

,

.
Din (1) si (2) deducem ca

.
Ecuatia data devine:

. Din ultimele doua relatii, obtinem:

Fie functia

,

e strict crescatoare pt ca b>a>1,deci si injectiva!
Cum f(u)=f(v), rezulta ca u=vm deci

. Urmeaza ca:

M.S. e o functie (in u) strict descrescatoare si deci are solutie unica. Cum u=1 este solutie, rezulta ca aceasta e unica. In concluzie, x=b e solutie unica.

2.Fie

natural. Sa se rezolve ecuatia:

in intervalul

.

Rezolvare:
I)Pentru

avem:

si

si deci ecuatia data nu are solutie pentru

.
II)Daca x>0 ecuatia data se poate scrie sub forma:

Considerand M.S. al acestei relatii ca o functie in x, obtinem ca ea este strict descrescatoare.
Pe de alta parte, daca

, atunci:

si de aici:

deci, functia

e strict crescatoare.
In fine, se deduce ca ecuatia noastra are cel mult o solutie, si aceasta este, evident x=1.

[Citat] Eram dator cu niste rezolvari: (Repostez problemele cu solutiile) 1.Fie , a.i. b>a>1 si c=b-a. Rezolvati in IR ecuatia: Rezolvare: Se observa ca x=b este solutie. Ecuatia data se mai poate scrie sub forma:

Partea in rosu este falsa! Ecuatia din rezolvare nu este echivalenta cu cea din enunt pentru toate valorile parametrilor. Se gasesc doar solutiile x>c pierzandu-le pe celelalte. Ar trebui sa-i dati celui care v-a aratat aceasta solutie cazul particular a=2, b=4. Pentru aceste valori exista doua solutii x=4 si

. Vedeti comentariul meu complet de la
http://www.pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=8&ID=38946

Problema este luata din GMB 8/2006 (cel putin asa scria pe foaia domnului profesor)! Cred ca din faptul ca

e posibil sa fie irational (de fapt, este in cele mai multe cazuri) se deduce ca x-c trebuie sa fie pozitiv, altfel am avea un numar negativ la o putere irationala si ne-ar da un numar complex!

Am gasit solutia oficiala:

[Citat] Am gasit solutia oficiala:

In aceasta rezolvare "oficiala" trebuiesc schimbate intre ele cuvintele convexa si concava.

[Citat] Am gasit solutia oficiala:

Solutia oficiala face aceasi greseala de a considera numai solutii mai mari decat c. Enuntul cere solutii pe tot IR, deci observatia mea ramane valabila. Avem un exemplu de problema la care autorul nu a realizat complexitatea situatiei.

[Citat] Cred ca din faptul ca e posibil sa fie irational (de fapt, este in cele mai multe cazuri) se deduce ca x-c trebuie sa fie pozitiv, altfel am avea un numar negativ la o putere irationala si ne-ar da un numar complex!

Faptul ca

poate fi irational nu inseamna ca si este! Trebuia specificat in enunt ca este irational altfel trebuie considerate toate cazurile. Partea marcata in rosu este "wishful thinking" si nu are legatura cu matematica.

M-am gandit asa pr ca am mai gasit astfel de situatii si in rezolvare se lua doar cazul in care baza e pozitiva! :d

[Citat] M-am gandit asa pr ca am mai gasit astfel de situatii si in rezolvare se lua doar cazul in care baza e pozitiva! :d

Va inteleg. Scaparea este a celui care a propus problema si redactorul care a inclus-o in revista s-a lasat dus de rezolvarea "oficiala" (se poate intampla aproape oricui). Ideea din spatele problemei merita retinuta, dar ambalarea in forma de fata este neglijenta.