Buna seara!
As avea nevoie de putin ajutor la aceste probleme de geometrie diferentiala, materie de facultate, anul II.

Fie S in R3 o suprafata compacta pentru care K > 0. Sa se arate ca S
este homeomorfa cu o sfera.

Sa se gaseasca curbele din spatiul R3 care au curbura si torsiunea con-
stante egale k1 = k2 = 1.


Va multumesc!

[Citat] Buna seara! As avea nevoie de putin ajutor la aceste probleme de geometrie diferentiala, materie de facultate, anul II. Fie S in R3 o suprafata compacta pentru care K > 0. Sa se arate ca S este homeomorfa cu o sfera.

Problema este clasica, daca nu ma insel este o teorema a lui Gauss. Numele mai apare si mai jos...

Am cautat un loc cu o solutie cat de cat simpla si cu pasi clari.
Acesta este poate unul din ele:
http://math.stanford.edu/~brendle/icm2010.pdf

Acel "icm" nu trebuie sa intimideze, din contra, se vede usor unde incepe drumul si unde poate duce. In orice caz, paginile introductive vin scrise suplu si cu prospetime.

Citez de acolo

In case of dimension n=2 it is a classical result that the only compact
surfaces which can be given metrics of positive curvature are
S2 and RP2 .
This follows from the Gauss-Bonnet Theorem which asserts that for any metric the
integral of

K

over the surface is equal to
2? times the Euler characteristic.
Thus if K is positive the Euler characteristic must be positive, and from the
classification of compact surfaces it follows that M is diffeomorphic to either S2 or RP2 .


A se vedea si:
http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss-Bonnet_theorem (Aici se scrie formula, se remarca ca acel 2-2g obtinut prin integrarea pomenita mai sus este >0 daca si numai daca g=0, deci "genul" suprafetei este 0.
Se stie (dintr-o prealabila clasificare topologica) ca o suprafata din IR³ de gen g este homeomora cu o sfera careia i s-au atasat g "toarte" (si deoarece fiecare toarta introduce o "gaura" putem sa reformulam.) La noi adaugam zero toarte si am terminat.

http://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_Gauss-Bonnet

http://www.cims.nyu.edu/~lagatta/talks/curvature.pdf

[Citat] Sa se gaseasca curbele din spatiul R3 care au curbura si torsiunea con- stante egale k1 = k2 = 1.

Pentru cazul general (care este la fel de greu ca si cel special),
cineva a avut o aceeasi problema.

http://math.stackexchange.com/questions/197725/how-can-i-prove-that-a-curve-with-constant-nonzero-curvature-and-torsion-is-a-he

Mai intai este bine sa se faca calculele pentru a vedea ca elicea de mai sus (sau mai jos) este intr-adevar solutie.
Unicitatea reiese din "considerente generale legate de ecuatii diferentiale", dar nu tocmai evident.

A se vedea si
http://web.mit.edu/hyperbook/Patrikalakis-Maekawa-Cho/node24.html (si imprejurimile sarind din acest nod in cele apropiate)
Aici este desenata macar elicea.

(Daca cele de mai sus nu ajuta (pana la capat) ar trebui sa stiu ce rezultate pot folosi... Problema nu este tocmai una triviala.)

Va multumesc!
As mai avea cateva intrebari :D

Use Bonnet's theorem to show that there exists no surface f(u, v), such that E=G=1, F=0, and e=1, g=-1, f=0.
E, G, F, e, g, f= coefficients of the first and second fundamental forms.

Does there exist a surface f(x,y) with E=1, F=0, G=cos^2x, e=cos^2x, f=0, g=1?

Din calcularea determinantilor => curbura Gauss=1, in toate cazurile, la fel ca si curbura sferei. Dar nu stiu cum ar trebui sa aplic teorema lui Gauss Bonnet.