Aratati ca :

Numarul p=2011 este prim.
Putem face atunci calculele in corpul F ("field") al intregilor modulo 2011.
Atunci factorul din fata (care face numarul dat sa fie intreg) nu ne intereseaza. (Desi Wilson...)

Vrem sa aratam in F relatia
1 + 1/2 + ... + 1/2010 = 0 .

Fie U(F) unitatile lui F, adica F fara {0}.
Deoarece aplicatia de la U(F) la U(F) care trimite x -> 1/x este o bijectie,
dupa rearanjarea termenilor din suma de mai sus trebuie sa demonstram
1 + 2 + ... + 2010 = 0
in F. Dar calculul de mai sus stim sa il facem in ZZ, dam de factorul (2010+1),
deci suma e zero in F.

Daca se poate, la nivel de gimnaziu...va rog.

1/1 + 1/2010 = 2011/2010
1/2 + 1/2009 = 2011/4018
1/3 + 1/2008 = 2011/6024

si asa mai departe, avem in total 2010/2 perechi de forma

1/k + 1/(2011-k) = 2011 / k /(2011-k) .

In orice caz facem rost de factorul 2011, care nu are cum sa se simplifice.
Este clar ca avem la inceput de-a face cu un numar natural (inainte si dupa ce impartim la 2011).