Se considera multimea A={p^2, cu proprietatea ca, p este numar prim}.
a) Aratati ca un numar format din 2013 cifre, dintre care 1000 cifre egale cu 5, 1000 de cifre egale cu 4 si trei cifre egale cu 9; nu este element al multimii A.
b) Aratati ca oricum am alege 4 numere din multimea A, diferite de 9, exista cel putin doua care au diferenta divizibila cu 9.

(b) Fie p un numar prim diferit de 3.
Fie P = p², patratul lui p. Asa arata numerele din multimea A.

(Ajunge sa ne legam de numere P nedivizibile cu 3, problema este neeconomic pusa, intr-un fel e bine, pentru ca ne obliga sa cautam ce caracteristica rezolva problema, intr-un alt fel e rau, avem o problema "urata"...)

Atunci acest numar e de forma
9k+1 sau 9k-1,
9k+2 sau 9k-2,
9k+4 sau 9k-4.

Patratul este deci ceva ce intra intr-unul din sertarele de forma
M9 +1
M9 +4
M9 +7 . REEDITARE. (Multumesc!)
(M9 sta pentru multiplu de 9...)
Daca avem 4 numere care trebuie sa intre in aceste 3 sertare, cel putin un sertar are doua numere. Diferenta acestor doua numere din acelasi sertar se divide cu 9.

La punctul (a) lucrurile sunt neclare.
Sa inteleg asa:

Fie N un numar natural care scris in baza 10 are 2013 de cifre,
dintre care

in ordinea care urmeaza/in dezordine

- exact/cel putin 1000 cifre sunt cinciari,
- exact/cel putin 1000 cifre sunt patrari,
- exact/cel putin 3 cifre sunt nouari
- si restul de 10 cifre sunt alte cifre/sunt cifre despre care nu stim nimic.

Sa se arate ca N nu este patrat de numar prim.

Cum sa inteleg semnele de intrebare?
Desigur, pot sa ma apuc sa rezolv problema cea mai generala dintre ele, dar intai vreau sa am confirmarea faptului ca enuntul corespunde...

La punctul b) se analizeaza posibilele resturi ale lui p^2 la 9.

EDIT: Am postat prea tarziu. S-a strecurat o greseala de redactare (in loc de M9+5 este M9+7).

Multumesc pentru b)
Intradevar la punctul a nu se stie nimic despre cele 10 cifre.