Buna ziua
Va rog sa imi aratati si mie pe exemple numerice cum se aplica regula Gauss-Jordan in calculul inversei unei matrice-nu am inteles regula dreptunghiului-adica am inteles ca se ia o linie,se alege un pivot in ea apoi se impart elementele liniei la pivot apoi se completeaza coloana pivotului cu zero dar restul elementelor se fac dupa regula dreptunghiului asta nu am inteles si cel mai bine ar fi daca se poate sa imi aratati pe exemple concrete(cu cifre)multumesc
Daca va cer prea mult va rog sa ma scuzati
Am consultat niste site-uri pe INTERNET dar nu am gasit o explicatie multumitoare

Sa incercam atunci impreuna.
Plecam cu o matrice si vrem sa ii calculam inversa.
Propun sa plecam cu

3 5
1 2

Sa zicem ca vrem sa rezolvam in acelasi timp cele doua sisteme de ecuatii care corespund datelor:

3 5 | 1
1 2 | 0

si

3 5 | 0
1 2 | 1

Sistemele corespunzatoare sunt

3x + 5y = 1
x + 2y = 0 cu solutia evidenta x = 2 si y = -1

si

3x + 5y = 0
x + 2y = 1 cu solutia evidenta x = -5 si y = 3

Trebuie sa luam cazul acesta simplu ca sa vedem ca daca punem solutiile ca vectori,
+2
-1
pentru prima solutie si
-5
+3
pentru a doua si apoi "lipim" coloanele, dam de matricea inversa.
Acest lucru este motivat de "inmultirea in blocuri a matricilor".

Bun, deci schema pe care trebuie sa o intelegem este schema / eliminarea Gauss totala, plecam de la

3 5 | 1 0
1 2 | 0 1

si incercam sa ajungem prin eliminari succesive la ceva de forma

1 0 | ? ?
0 1 | ? ?

(cu matricea identiate pe stanga liniei despartitoare).

Ca sa nu mai scriem de zece ori acelasi lucru, imbinam deci la un loc de mai multe ori micii pasi de eliminare.

Sa incercam sa eliminam asadar.

3 5 | 1 0
1 2 | 0 1

1 este pivot. Linia pivotului ramane, restul se schimba.
3 -> 0 (in coloana pivotului se face liniste.)
In prima linie altfel:
5 -> 5 - 3.2/1 = -1
1 -> 1 - 3.0/1 = 1
0 -> 0 - 3.1/1 = -3 .
Dam de

0 -1 | 1 -3
1 +2 | 0 +1

Prima linie se inmulteste cu -1.
(Ecuatia 0x +(-1)y = 1 resp. -3 devine (-0)x+(+1)y = -1 resp. 3.)

0 1 | -1 3
1 2 | +0 1 (semnele pentru aliniere doar)

Eliminam si 2-ul folosind 1-ul din prima linie.
Primalinie sta pe loc, a doua se schimba.
1 sta pe loc (sub 0)
2 -> 0 sub pivot, facem operatia 2 -> 2 - 2.1/1 daca luam strict lucrurile.
+0 -> +0 - 2.(-1)/1
1 -> 1 - 2.3/1

Dam de

0 1 | -1 3
1 0 | 2 -5 (semnele pentru aliniere doar)

Prima ecuatie este 0x +1y = -1 resp 3
A doua ecuatie este 1x +0y = -1 resp 3

Schimbam ecuatiile intre ele

1 0 | 2 -5
0 1 | -1 3

In momentul in care in partea stanga avem matricea identitate, pe dreapta e inversa.

Daca mai sunt intrebari, cu incredere...

Am inteles foarte bine si am incercat sa rezolv un sistem de ecuatii in acest fel si anume:
-2x-y+z= 1
-x+y+2z= -3
x +z=2
Am facut tabelul astfel:

-2 -1 1 1
-1 1 2 -3
1 0 1 2 In ultima coloana ar fi solutiile ecuatiei cu conditia ca

in stanga sa facem dupa transformari succesive
1 0 0
0 1 0
0 0 1
(asta am inteles eu si din explicatiile Dvs e bine?}
Dra spre rusinea mea cu toate incercarile facute nu am reusit sa gasesc acest lucru.Poate exista vreo regula sau se ia prin incercari?Nu prea am inteles bine cum este cu pivotul acela.Daca nu aveti insa timp nu o faceti ca explicatiiile Dvs au fost suficiente sa inteleg cum se transporta limiile cu 1 0 0 etc dintr-oparte in alta ar fi important sa stiu daca aceste reduceri se fac dupa o anumita
regula sau asa prin icercari?Multumesc

[Citat] Nu prea am inteles bine cum este cu pivotul acela.

Sa incercam toate lucrurile pe rand.
Este usor, este deci pacat sa nu le executam repede.
Promit ca totul merge repede, am nevoie insa de un "am inteles" scurt la fiecare pas. Asadar pe rand.

Ce este afacerea cu pivotul de fapt?

Sa zicem ca avem ecuatiile

Ax + ... + By + ... = E (eq1)
Cx + ... + Dy + ... = F (eq2)

unde A este nenul.
Vrem acum asa: Cum eliminam x-ul din a doua ecuatie, folosind-o pe prima? Ce obtinem apoi din a doua ecuatie?

Pentru a elimina trebuie sa inmultim eq1 cu (C/A), A nenul maisus... altfel nu este bun de "pivot", dam de

Cx + ... + (BC)/Ay + ... = (EC)/A

scadem acum ecuatia aceasta din prima ecuatie si obtiem (dupa ce o mai copiem si pe prima)

Ax + ... + By + ... = E (eq1)
0x + ... + (D - BC/A)y + ... = (F - EC/A) (eq2')

Vedem o schema elementara.
Daca scriem doar "coeficientii", vedem ca putem trece prin pasul natural de combinare liniara a ecuatiilor

de la

A ... B ... | E
C ... D ... | F

la

A ... B .... | E
0 ... D' ... | F'

unde D' = D - BC/A (respectiv F' dat de formula "similara")
este de fapt D' = D - BC/A = (AD-BC) / A si vedem un determinant supra un pivot.
Locurile unde sunt plasate literela A,B,C,D formeaza un triunghi.
Schema se poate aplica mecanic, dar se poate si intelege usor!


Este clar pana aici?

Da da acum inteleg eu ce voia sa spuna ei cu acel dreptunghi.
Dvs in plus l-ati si demonstrat.
Deci ia uitati ce am inteles eu:
Dca avem A B 1 2
C D pe care le scriem de ex ca 3 4

atunci D se inlocuieste cu un D' care se obtine prin inmultirile acelea in diagonale si anume (indice 1 x indice 4)-(indice2x indice 3)/indice 1
In acest fel in locul lui C apare zero si astfel l-am eliminat!
De ce nu gasim si noi in manuale astfel de explicatii?
Mi-ati dat elan si acum voi incerca sa fac singur acel sistem de ecuatii-dar trebuie sa nu il fac repede sa nu am incurc!

Excelent!
Ma bucur nespus, matematica este de fapt in mare parte o problema de comunicare.
Acum ca ne-am gasit doi tiparitori cu mancarime la degete, sa incercam sa rezolvam impreuna sistemul de mai sus, doar sistemul, apoi vom vedea la fel de repede cum se inverseaza o matrice.

Dupa cum se vede, forma (si notatia) conteaza foarte mul in matematica, mai exact in bucataria matematica, e bine sa avem linguri si tocatoare si ulcelel de toate marimile si culorile. De aceea, forma fiind o parte importanta, voi scrie primul pas din rezolvarea sistemului folosind eliminarea Gauss in latex.

Rog a se da un clic pe acel Citeaza, apoi acele [ quote ]-uri trebuie indepartate, iar in ceea ce ramane este bine sa se pastreze forma.
(Tot textul se da de asemenea la o parte... Raman doar calculele. Pot fie aratate usor mai departe. Nu aici, (neaparat,) ci si pe calculatorul propriu!)

Eu fac de multe ori calculele direct in latex, dupa o latex-uire imi mai verific calculele, care au deseori greseli, dar in acest mod AM in mod electronic calculele proprii, pot oricand sa le reformatez, carand astfel dupa mine un mic stick, nu o sumedenie de ciorne.

La lucru deci:

Verificare pentru mine, la asa ceva gresesc daca nu am in mana deja solutiile ca sa ma verific mereu pe parcurs...

Prima trecere (de la primul bloc 3x4 la al doilea, pas Gauss de eliminare.)
-> ultima linie ramane aceeasi, pivotul din boxa [1] este pe aceasta linie.
-> pe coloana lui [1] se face imediat liniste, doar zerouri raman. (In afara de pivot.)
-> apoi coloana a doua ramane pe loc din cauza acelui 0 pe pozitia (3,2)
-> prima coloana:
---- pozitia (1,1) :: -2 -> -2 - 1.1/1 = -2-1 = -3.
---- pozitia (2,1) :: -1 -> -1 - 2.1/1 = -1-2 = -3.
Probabil ca e bine si mai departe....)

A doua trecere, de la blocul 3x4 din mijloc, la cel 3x4 cel mai de jos, este doar o copiere, urmata de marcarea pivotului, ca sa nu ne incurcam...


Cum merge deci afacerea mai departe?

Pai acum dupa ce Dvs,ati rezolvat ce era mai principal,eu am continuat dar asa,cu incercari sa obtin pe diagonala unu.Iata cum am facut:
-pasul 1:am pornit de la matricea Dvs.(ce era mai greu ati facut Dvs)
la acest pas am scris l1=l1+l2 si prima linie devine -6 0 0 -8
-pasul 2:linia l1=l1/2 si anume -3 0 0 -4
-pasul 3:linia l1=-l1 si devine 3 0 0 4
-pasul 4:linia l2=l1+l2 si linia 2 devine 0 1 0 -3
-pasul 5:linia l1=l1/3 si devine 1 0 0 4/3
=pasul 6:linia3=l3-l1 si linia 3 devine 0 0 1 2/3
Am obtinut in stanga matricea Dvs cu 1 pe diagonala iar solutiile sant:
x=4/3 y=-3 z=2/3
Eu poate ca am obtinut solutia dar nu sant multumit am lucrat asa intamplator.
Acum urmeaza sa o refac dupa indicatiiile Dvs (regula dreptunghiului)
Oricum multumesc mult pentru explicatiile date pe care le-am inteles foarte bineDaca veti avea timp va voi trimite rezolvarea asa cu regula dreptunghiului cum m-ati invatat Dvs!

O sa duc eu atunci pana la capat afacerea cu scrierea solutiei,
undeva trebuie sa se afle exemplar scrisa.

Ultimul "sistem" corespunde solutiei,
x = 4/3
y = -3
z = 2/3 .


Toate operatiile pe care le-am facut se explica usor, daca vedem "liniile" drept ecuatii si daca stim sa combinam (liniar) doua (sau mai multe) ecuatii.

De exemplu, la un moment dat am impartit prima linie cu -6.
Am voie sa fac asa ceva? Unde scrie acest lucru?
Nicaieri! Pur si simplu a trebuit sa decid la locul faptei ce operatie sa fac ca sa dau de un pivot "uman". (De exemplu unu.)

Multe carti vor sa mai taie din blocuri, de exemplu operatia de copiat bloc si in noua copie de marcat "doar" pivotul este destul de costisitoare pentru pagina de hartie... Dar aici...

Verificare cu computerul:

Urmeaza o tema de casa...

Tema de casa finala va fi inversarea unor matrici.
3x3 si apoi 4x4.

Pentru ca sa nu fiu huiduit,
am vazut ca e bine sa iau matrici cu intrari din ZZ si de determinant unu.
(Potrivit formulei de calculare a inversei folosind matricea "adjuncta", stiu atunci ca inversa are din nou intrarile din ZZ!)

Cum imi construiesc cateva astfel de matrici?

Am dat drumul la computer si l-am pus sa inmulteasca cateva matrici elementare luate aleator. Din ce mi-a dat computerul aleg una...

Cod:

Deja pot propune o mica tema de casa.

Fie A matricea

[ 2 8 -1]
[-2 -7 2]
[-1 -4 1]

Sa se rezolve sistemul scris matricial

Ax = b

(unde x este o matrice 3x1, a necunoscutelor x1, x2, x3)
pentru fiecare din urmatoarele cazuri:

b este vectorul coloana 3x1
[1]
[0]
[0]

b este vectorul coloana 3x1
[0]
[1]
[0]

b este vectorul coloana 3x1
[0]
[0]
[1]

Buna ziua
Mai am o mica lamurire de dat(daca se poate): am inteles foarte bine rezolvarea Dvs dar nu sant chiar sigur de ceva si anume:
rezolvarea se face combinand regula dreptunghiului cu regula combinarii de linii(scaderi,inmultiri intre linii fara a utiliza regula dreptunghiului,etc)?
Tema de casa este foarte interesanta si voi trece la rezolvarea sa dar nu sant sigur daca se pot combina aceste metode(dreptunghi+combinari de linii)?