Se considera sirul cu termenul general

.Sa se arate ca sirul an este convergent.

Eu m-am gandit sa scriu numaratorul din log: k^2+2k=k^2+2k+1-1=(k+1)^2-1 .Apoi a ramas logaritm in baza 1/3 din (1-1/(k+1)^2). Am efectuat acest produs ,dupa simplificari succesive si in final,am ajuns la forma

.
La monotonie ,am facut a_n+1-a_n=log in baza 1/3 din [(n+3)(n+1)]/[(n+2)^2]..
dar mai departe cum vad cum este fata de 0(<,>? plus marginire,care pare putin mai dificila..

Multumesc anticipat!

Nu vreau sa ma refer(inca) la acest sir, dar am impresia ca ptr. dumneavoastra un sir convergent este in mod necesar monoton.Nu este asa.Un sir este convergent daca si numai daca (prin definitie) are limita finita.Calculati limita din rezultatul obtinut dupa simplificarile alea.

Este cumva vorba despre sirul cu termen general

?

Daca da, sa incercam immpreuna.
Ne legam de exemplu a(20) .
Atunci avem de inmultit:
(17:22) gp > for( k=1, 20, print( "( ", k, ".", k+2, " ) / ( ", k+1, ".", k+1, " )" ) )
( 1.3 ) / ( 2.2 )
( 2.4 ) / ( 3.3 )
( 3.5 ) / ( 4.4 )
( 4.6 ) / ( 5.5 )
( 5.7 ) / ( 6.6 )
( 6.8 ) / ( 7.7 )
( 7.9 ) / ( 8.8 )
( 8.10 ) / ( 9.9 )
( 9.11 ) / ( 10.10 )
( 10.12 ) / ( 11.11 )
( 11.13 ) / ( 12.12 )
( 12.14 ) / ( 13.13 )
( 13.15 ) / ( 14.14 )
( 14.16 ) / ( 15.15 )
( 15.17 ) / ( 16.16 )
( 16.18 ) / ( 17.17 )
( 17.19 ) / ( 18.18 )
( 18.20 ) / ( 19.19 )
( 19.21 ) / ( 20.20 )
( 20.22 ) / ( 21.21 )
Este clar cum se simplifica telescopic,
dam de acel
1/2 . (n+2)/(n+1)
sub logaritm,
limita de sub logaritm este usor de calculat...
Logaritmul (in baza 1/3) este o functie continua deci
"log lim = lim log"
Probabil ca suma se ia nu de la 1, ci de la 2...

am inteles..acest lucru l-am facut si eu ;dar intrebarea este cum se arata monotonia si marginirea termenului general a_n? este un exercitiu din lectia proprietatea lui Weierstrass.

[Citat] am inteles..acest lucru l-am facut si eu ;dar intrebarea este cum se arata monotonia si marginirea termenului general a_n? este un exercitiu din lectia proprietatea lui Weierstrass.

(In problema initiala lipseau cateva semne importante, de aceea am scris ceva ca sa vedem mai indeaproape despre ce vorbim)

Problemele ramase sunt minore.

Expresia (1/2) (n+2)/(n+1) are monotonia clara. Il putem da la o parte pe acel 1/2, monotonia lui (n+2)/(n+1) = 1 + 1/(n+1) este (dupa ce il dam la o parte pe 1) exact cea a expresiei 1/(n+1), deci inversa fata de cea a expresiei (n+1).
Avem deci un sir (strict) descrescator.

Ramane sa intelegem ce fel de functie este functia
"logaritm in baza (1/3)".
Este (strict) crescatoare sau (strict) descrescatoare pe domeniul de definitie?

Doar pentru a se vedea o alta problema...

[Citat] .

(Acoladele astea in plus din codul latex ma termina...)
Cele de mai sus nu sunt chiar