Fie

subspatii ale unui spatiu vectorial

.Sa se arate ca urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
(a)

este un subspatiu al lui

.
(b)

(c)

sau

Va rog sa imi dati indicii cit mai explicite.Multumesc mult!!

Ar fi preferabil ca dupa [ equation] sa folositi $ in loc de \[ si inainte de [ /equation] sa inchideti cu $ in loc de \].

Sa incercam impreuna sa vedem pe un exemplu simplu unde este problema.
Sau cum merge problema.

Sa zicem ca luam V a fi planul real.

Fie V' o dreapta prin 0, aceasta reprezinta un (posibil) subspatiu vectorial al lui V.

Fie V'' de asemenea o dreapta prin 0.

Luam reuniunea W a celor doua drepte.
Daca dreptele coincid nu avem probleme, W = V' = V'' este spatiu vectorial.
dar daca ele nu coincid de ce nu este W spatiu vectorial?
Raspunsul este : Operatia de adunare de pe V, de pe "planul mare" nu este stabila.

Luam un vector nenul din V'. El are o directie.
Luam un vector nenul din V''. El are o alta directie. (V' nu este V''.)
Ii adunam. Paralelogramul ne scoate din reuniune!

Cum argumentam in cazul urmator (tot special)?

Sa zicem ca luam V a fi spatiul (trei dimensional) real.

Fie V' un plan prin 0, aceasta reprezinta un (posibil) subspatiu vectorial al lui V (de dimensiune 2).

Fie V'' de asemenea un plan prin 0, diferit de V'.

Fie W reuniunea.
Este aceasta reuniune stabila la adunarea vectorilor?
Cum construim un (contra)exemplu?


(Rog a se raspunde la aceasta intrebare la fel de detaliat, tot asa cum este dorit raspunsul la problema generala, abstracta, pe care vrem sa o intelegem.)