1. Fie (x_n) un sir de numere reale pozitive si lim(x_n)=l (n->oo).Folosind criteriul cu epsilon,sa se arate ca:
a) daca l=1 ,atunci lim(ln x_n)=0; (n->oo)
b) daca l=+oo ,atunci lim(ln x_n)=+oo;
c) daca l=0 ,atunci lim (ln x_n)=-oo.

2. Sa se determine punctele de acumulare pt multimile : A={1/(n+1) |n apartine N}; B=Z; si C=Q.

3. Fie (a_n) un sir de numere reale.Sa se arate ca sirul(a_n) este convergent daca si numai daca oricare ar fi epsilon>0 , exista un rang n(epsilon)apartine N* ,astfel incat |a_m-a_n|<=epsilon ,oricare ar fi m, n>=n(epsilon). [Criteriul lui Cauchy]
Apoi,folosind cr lui Cauchy sa se studieze convergenta sirurilor :

[Citat] 1. Fie (x_n) un sir de numere reale pozitive si lim(x_n)=l (n->oo). Folosind criteriul cu epsilon, sa se arate ca: a) daca l=1 ,atunci lim(ln x_n) = 0; (n->oo) b) daca l=+oo ,atunci lim(ln x_n) = +oo; c) daca l=0 ,atunci lim (ln x_n) = -oo.

(a) Plecam cu sirul care converge la 1.
Fie epsilon > 0 .
Vrem sa asiguram conditia

0 - epsilon < ln x(n) < 0 + epsilon

Aplicam exp. Dam echivalent de

exp( 0 - epsilon ) < x(n) < exp( 0 + epsilon ) .

Fie epsilon' numarul
epsilon'
= min( exp( epsilon ) - 1 , 1 - exp( -epsilon ) )
= 1 - exp( -epsilon )
> 0 .

Deoarece stim convergenta lui x(n) la 1, exista un N(epsilon) pentru care are loc
1 - epsilon' < x(n) < 1 + epsilon' .

Acest N(epsilon) este numai bun pentru sirul ln( x(n) ) si epsilon.

(b) si (c) se arata analog, trebuie doar scrisa corespunzator inegalitatea din definitia cu epsilon un M (margine mare) sau -M (margine mica) pentru sirul ln( x(n) ),
apoi transformata intr-una pentru x(n), ...
TEMA DE CASA!
Daca sunt intrebari, rog a se pune (pe baza unui inceput de solutie.)

[Citat] 2. Sa se determine punctele de acumulare in [ -oo, +oo ] pt multimile : A = {1/(n+1) | n apartine N}; B = Z si C = Q .

A are doar 0 drept punct de acumulare, deoarece sirul 1/(n+1) concerge la 0.

B = Z are -oo si +oo ca puncte de acumulare. Orice punct real (finit) r nu intra in discutie. Daca acest punct este in Z, atunci in intervalul
( r-1, r+1 ), vecinatate a lui r, se gaseste doar r printre membrii lui B.
Daca r nu este din Z, fie eps = min( r - [r] , [r]+1 -r ) > 0 . Atunci ( r-eps, r+eps ) nu intersecteaza B-

(B este multime discreta.)

C = Q are [ -oo, +oo ] ca puncte de acumulare.
-oo este punct de acumulare, deoarece (-n) tinde la -oo, n parcurge IN.
+oo este punct de acumulare, deoarece (+n) tinde la +oo, n parcurge IN.
r rational este punct de acumulare, deoarece ( r-1/n ) este din C = Q si tinde la r (si nu ia valoarea r), n parcurge IN* .
r irational este punct de acumulare, deoarece sirul aproximarilor zecimale prin lipsa cu n zecimale, n in IN, este din C = Q si tinde la r.

[Citat] 3. Fie (a_n) un sir de numere reale. Sa se arate ca sirul (a_n) este convergent daca si numai daca este sir Cauchy. [Criteriul lui Cauchy] Definitie: Fie (a_n) un sir de numere dintr-un corp arhimedian ordonat. Acest sir se numeste sir Cauchy sau sir fundamental daca si numai daca prin definitie ..oricare ar fi epsilon > 0 (din corpul nostru), .... exista un rang n(epsilon) apartine N* , ...... astfel incat oricare ar fi m, n >= n(epsilon) ........ | a_m - a_n | <= epsilon Apoi folosind criteriul lui Cauchy sa se studieze convergenta sirurilor :

Demonstratia criteriului lui Cauchy se bazeaza esential pe faptul ca IR este un corp (Arhimedian) *complet*,
*completitudinea* se refera la faptul ca orice sir Cauchy este convergent.
Asa se construieste anume corpul numerelor reale. (Constructia ia toate sirurile Cauchy cu elemente din Q, modulo o relatie de echivalenta aleasa natural.)

Fara a intelege aceasta constructie nu are sens sa rezolvam problema.
Cine intelege aceasta constructie, a rezolvat in particular problema.