In triunghiul BD (D apartine lui (AC)) si mediana CM (M apartine lui (AB)) sunt congruente. Aflati masura unghiului dintre dreptele BD si CM.

[Citat] In triunghiul ABC construim inaltimea BD (D apartine lui (AC)) si mediana CM (M apartine lui (AB)) . Se stie ca acestea sunt sunt congruente. Aflati masura unghiului dintre dreptele BD si CM.

Aratam ca unghiurile dintre ele sunt de 120 si respectiv 60 de grade.
Cea mai simpla solutie este sa le construim asa pentru "o parte din figura", apoi sa aratam ca "restul figurii" trebuie sa corespunda, deoarece avem o determinare unica.

Sa demonstram de aceea ceva mai simplu:

Fie BDA un triunghi dreptunghic in D.
Fie M mijlocul lui AB, astfel ca avem MB = MA = MD.

Pe segmentul BD construim triunghiul echilateral PBD in exteriorul triunghiului ABC.
Construim rombul PBDQ.
Translatand triunghiul BMD in directia vectorilor PB si/sau DQ obtinem un nou triunghi PC'Q congruent cu BMD, deci la fel de isoscel.

Sa se arate ca C' este pe bisectoarea / inaltimea din D a lui DPQ.

Sa se arate ca C', D si A sunt coliniare.

Sa se arate ca C'M = PB = BD.

Dupa ce am rezolvat aceasta problema, comparam cele doua figuri facute pe doua foi diferite, apoi "suprapuse", astfel incat punctele A,B,M,D sa coincida.
(Trebuie sa formulam problema initiala, astfel incat sa putem sa il inventam pe C dupa celelalte puncte.)

Deoarece in ambele probleme avem o unica intersectie a cercului de centru M si raza BD cu semidreapta (AD,
rezulta ca cele doua puncte

C si C'

coincid.
Din constructia lui C' stim unghiurile cerute dintre BD si C'M || PB .

[Citat] In triunghiul BD (D apartine lui (AC)) si mediana CM (M apartine lui (AB)) sunt congruente. Aflati masura unghiului dintre dreptele BD si CM.

În triunghiul ABC, în?l?imea BD ?i mediana CM sunt congruente.

( D apar?íne lui [AC], M apar?íne lui [AB] )

S? se afle m?sura unghiului dintre dreptele BD ?i CM


Rezolvare

[Citat] In triunghiul BD (D apartine lui (AC)) si mediana CM (M apartine lui (AB)) sunt congruente. Aflati masura unghiului dintre dreptele BD si CM.

În triunghiul ABC, în?l?imea BD ?i mediana CM sunt congruente.

( D apar?íne lui [AC], M apar?íne lui [AB] )

S? se afle m?sura unghiului dintre dreptele BD ?i CM


Rezolvare


Fie MQ||BD, unde Q este pe [AC].

MQ- linie mijlocie in ADB, rezulta MQ=BD/2.

Dar, se stie ca BD=CM, deci: MQ=CM/2.

In triunghiul CMQ, dreptunghic in Q, se aplica reciproca Th. unghi 30 grade.

Se obtine m(< ACM)=30 grade.

Multumesc.

Vedeti si :
http://www.pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=42&ID=33109