1.Se considera sirul (a_n) astfel incat an apartine R\Q ,oricare ar fi n apartine N* si l=lim(n->oo)a_n. Rezulta ca l=R\Q?
2.Sirul (an) are termenii a_(2n)<0 si a_(2n-1)>0 pt oricare n din N*.
a). Poate fi convergent acest sir?
b). Poate avea acest sir limita +oo? Dar -oo?

3.Se considera sirul (a_n) ,astfel incat subsirurile (a_2n-1) ,(a_2n) si (a_5n) au limita.Sa se arate ca (a_n) are limita.

[Citat] 1.Se considera sirul (a_n) astfel incat an apartine R\Q ,oricare ar fi n apartine N* si l=lim(n->oo)a_n. Rezulta ca l este din R\Q?

Nu.
( radical(2)/n ) tinde la zero din Q.

[Citat] 2. Sirul (an) are termenii a_(2n) < 0 si a_(2n-1) > 0 pt oricare n din N*. (a). Poate fi convergent acest sir? (b). Poate avea acest sir limita +oo? Dar -oo?

Da, sirul de termen general (-1)^(n+1) . (1/n) tinde la zero, are subsiruri de indecsi pari, respectiv impari care sunt de semne diferite.

Daca un astfel de sir are limita L,
atunci trecand la limita in cele doua relatii
a_(2n) < 0 si a_(2n-1) > 0
rezulta
L <= 0 si L >= 0 .

Deci limita trebuie sa fie zero. +oo si -oo se exclud, desigur.

[Citat] 3. Se considera sirul (a_n) ,astfel incat subsirurile (a_2n-1) ,(a_2n) si (a_5n) au limita. Sa se arate ca (a_n) are limita.

Fie L, M, N cele trei limite.
Deoarece sirul ( a_(5(2n-1)) ) este subsir pentru ... rezulta ca L=N .
Deoarece sirul ( a_(5(2n)) ) este subsir pentru ... rezulta ca M=N .
Deci cele doua siruri (a_(2n-1)) ,(a_(2n)) care "epuizeaza" sirul (a) au aceeasi limita, de unde convergenta ceruta. (Care se arata cel mai usor considerand definitia cu epsilon, ... Este clar cum se aplica?)

Later Edit: Prietenul gauss a fost mai rapid, dar se pare ca gandim la fel.

[Citat] 1.Se considera sirul (a_n) astfel incat an apartine R\Q ,oricare ar fi n apartine N* si l=lim(n->oo)a_n. Rezulta ca l=R\Q?

Banuiesc ca ati vrut sa scrieti la concluzie

Raspunsul este negativ. De exemplu

.

[Citat] 2.Sirul (an) are termenii a_(2n)<0 si a_(2n-1)>0 pt oricare n din N*. a). Poate fi convergent acest sir? b). Poate avea acest sir limita +oo? Dar -oo?

a) Da. Exemplu

b) Nu. Daca are limita, aceasta nu poate fi decat 0.

[Citat] 3.Se considera sirul (a_n) ,astfel incat subsirurile (a_2n-1) ,(a_2n) si (a_5n) au limita.Sa se arate ca (a_n) are limita.

Ideea: Se considera subsirurile

si

(fara cuvinte...)

Va multumesc mult!! credeam ca la primele 2 poate se necesita o demonstratie matematica ..dar vad ca se poate doar un exemplu pt a fi contradictie

inca cateva ex.:
1). Se considera sirul (a_n) ,astfel incat verifica una din conditiile:

Rezulta ca sirul (a_n) este convergent?

2) Sirul (a_n) are limita si l apartine R (barat) .Daca a_(2n)<0 si a_(n)+a_(n+1)>0 ,oricare ar fi n din N* ,sa se determine l.

3) Fie a_(n) un sir de numere reale si l=lim a_(n); n tinde spre infinit.
a) Daca l>0, sa se arate ca exista n_(0) apartine N*, astfel incat a(n)>0, oricare ar fi n apartine N*, n>=n(0).
b) Daca l<0, sa se arate ca exista n(0) apartine N*, astfel incat a(n)<0, oricare ar fi n apartine N*, n>=n(0).
c) Daca l apartine R* , sa se arate ca exista n_0 apartine N*, astfel incat a_n diferit de 0 ,oricare ar fi n apartine N* ,n>=n(0)

[Citat] inca cateva ex.: 1). Se considera sirul (a_n) ,astfel incat verifica una din conditiile: Rezulta ca sirul (a_n) este convergent? 2) Sirul (a_n) are limita si l apartine R (barat) .Daca a_(2n)<0 si a_(n)+a_(n+1)>0 ,oricare ar fi n din N* ,sa se determine l. 3) Fie a_(n) un sir de numere reale si l=lim a_(n); n tinde spre infinit. a) Daca l>0, sa se arate ca exista n_(0) apartine N*, astfel incat a(n)>0, oricare ar fi n apartine N*, n>=n(0). b) Daca l<0, sa se arate ca exista n(0) apartine N*, astfel incat a(n)<0, oricare ar fi n apartine N*, n>=n(0). c) Daca l apartine R* , sa se arate ca exista n_0 apartine N*, astfel incat a_n diferit de 0 ,oricare ar fi n apartine N* ,n>=n(0)

(1)
(a) Sirul periodic de perioada doi
1,a,1,a,1,a,1,... cu a diferit de 1 satisface relatia data, dar nu converge.
(b) Sirul periodic de perioada patru
1,1,a,b,1,1,a,b,1,1,a,b,... cu a (sau) b diferit de 1 satisface relatia data, dar nu converge.

(2) Se trece la limita in relatia de definitie.
Rezulta l <= 0 din prima relatie si l+l >= 0, deci l=0 .

(3)
(a) V = (0,+oo) este o vecinatate a lui l, deci exista un index n(V) de la care incolo sirul se afla in V.
(b) Acelasi lucru cu V = (-oo,0) . (Sau se ia sirul inmultit cu (-1).)
(c) este (a) sau (b).

o mica greseala am facut..pe care am rectificat-o mai sus
la ex 1) l conditia b) la produs, in paranteza 2 era (a_n+1-2)

[Citat] o mica greseala am facut..pe care am rectificat-o mai sus la ex 1) l conditia b) la produs, in paranteza 2 era (a_n+1-2)

Pai, faci rectificarea si in solutie.