cum as putea sa ii determin natura si suma?

Într-un final, cu ajutorul prietenilor, am reusit sa editez si eu in latex, multumesc!

Foarte bine ati facut. Si de alta data sa fiti mai perseverent cu astfel de lucruri. In fond perseverenta e o calitate de care aveti nevoie din plin la rezolvarea problemelor de matematica.

Scriem seria data ca diferenta de doua serii care vom vedea ca sunt convergente si ca putem sa le calculam suma.

Pentru prima serie folosim faptul ca pentru orice -1<x<1 avem

pentru valoarea particulara x=1/2. A doua serie este o serie geometrica.

Multe multumiri pentru plasarea problemei in LaTeX!

Adaug doar un lucru nematematic.
Ne putem verifica in astfel de cazuri cu soft matematic. Eu folosesc sage, sintaxa este aproape de gandirea unui matematician:
sage: var( 'n' );
sage: sum( (2*n-1) / 2^n, n, 1, oo )
3
sage: sum( (2*n) / 2^n, n, 1, oo )
4
sage: sum( 1 / 2^n, n, 1, oo )
1
sage:

(Asa ceva facem desigur doar *dupa* ce am rezolvat cu mainile goale problema. Este un fel de verificare, tot asa cum pe vremuri eu cautam solutia la sfarsitul cartii...)

E bun sage-ul acesta, dar si mai simplu este
http://www.wolframalpha.com/
iti face grafice, iti calculeaza orice, ii introduci cerinta "aproape" in limbaj obisnuit, fara a fi nevoie sa studiezi sintaxa.

[Citat] E bun sage-ul acesta, dar si mai simplu este http://www.wolframalpha.com/ iti face grafice, iti calculeaza orice, ii introduci cerinta "aproape" in limbaj obisnuit, fara a fi nevoie sa studiezi sintaxa.

Am inserat codul mai mult pentru raspunsuri.
Orice cod este bun daca conduce (repede) la solutie.
Linia de comanda in Mathematica pentru a afla suma seriei date este cea aratata pe

[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%28+%282*n-1%29%2F2^n+%2C+n%3D1+to+infinity+%29
(Adresa nu este bine aratata pe pagina, cred, totul trebuie copiat si plasat in navigator.)

(Si eu am mai plasat trimiteri la worframalfa, am dat mereu codul de verificare.)

(Acest soft nu este liber. Sintaxa nu este tocmai simpla, deprinderea cu acest limbaj nu face altceva decat sa deschida o prima usa pentru utilizare. Se presupune ca utilizarea mai accentuata se intampla dupa cumpararea soft-ului. Personal am avut probleme la facultate, pe masina facultatii care cumparase Mathematica pentru uz restrans, cand a trebuit sa scriu mici programe, patru linii care cauta si livreaza ceva...)