1. Fie

un sir de numere reale si

. Sa se arate ca daca se schimba ordinea termenilor sirului

, noul sir are aceeasi limita.

2. Fie A inclus in R si B={-x|x apartine A}. Atunci:
a) sup(B)=-inf(A);
b) inf(B)=-sup(A).

3. Sa se determine punctele de acumulare in

pt multimile:

,

,

[Citat]

[Citat] 2. Fie A multime nevida inclusa in IR si B = { -x | x apartine A }. Atunci: (a) sup(B) = -inf(A) ; (b) inf(B) = -sup(A) .

Fie m(A) multimea minorantilor lui A.
Fie M(B) multimea majorantilor lui B.

Multimea m(A) este unul din intervalele ( -oo, inf(A) ) sau ( -oo , inf(A) ].
Multimea M(B) este unul din intervalele ( sup(B), +oo ) sau [ sup(B), +oo ).

Este clar ca daca x este minorant al lui A,
atunci -x este majorant al lui B si reciproc.
Definitia lui B!

De aici,
x se afla in ( -oo, inf(A) ) sau ( -oo , inf(A) ]

daca si numai daca
-x se afla in -( -oo, inf(A) ) = ( -inf(A), +oo ) sau in -( -oo , inf(A) ]
= [ -inf(A), +oo )
pe de o parte, dar si

daca si numai daca
-x se afla in ( sup(B), +oo ) sau [ sup(B), +oo )
din modul cum se corespund m(A) si M(B).

De aici deducem cele cerute, deoarece se pot compara foarte usor doua intervale (s, +oo) si (s',+oo), ele sunt egale daca si numai daca s=s'.
(La fel si cu cazul in care avem [s, +oo) si [s',+oo). )

Nota: Un alt mod de a demonstra este de a lua un sir de elemente (b(n)) din B ce tinde la sup(B), apoi aplicam pe el functia continua "minus" pentru a vedea ca sirul (a(n)) dat de a(n) = -b(n) devine un sir din A. Trecem la limita si obtinem o inegalitate. Pentru cealalta inegalitate plecam cu un sir din A care tinde la inf(A), facem acelasi lucru cu functia continua "minus".

Un an nou bun!

[Citat]

Sa incercam impreuna.

(A) A nu are nici un punct de acumulare, este o multime discreta.
De ce? Elementele lui A indexate in mod natural formeaza un sir crescator, iata primii termeni:

sage: for n in [1..8]:
....: print ( 2*n + sin( n*pi/4 ) ).n()
....:
2.70710678118655
5.00000000000000
6.70710678118655
8.00000000000000
9.29289321881345
11.0000000000000
13.2928932188135
16.0000000000000

(Acel doi care il adunam de la un termen la altul biruie strict cele doua sinusuri.)

Deci daca luam un element a din A, sa zicem ca a = x(n), atunci in intervalul ( a- 1/100 , a+1/100 ) nu se mai afla nici un alt element al sirului! (Ar trebui sa dam de o infinitate.)

(B) Punctele de acumulare sunt cele din multimea

Iata elementele acestul sir (valori aproximative):

sage: for k in [0..11]: print ( 1 + cos( k*pi/6 ) ).n()
....:
2.00000000000000
1.86602540378444
1.50000000000000
1.00000000000000
0.500000000000000
0.133974596215561
0.000000000000000
0.133974596215561
0.500000000000000
1.00000000000000
1.50000000000000
1.86602540378444

Dupa cum se vede, am fost foarte generos, lasand k sa se plimbe intr-o multime, astfel incat cosinusul sa fie aplicat pe un argument intre 0 si 2pi, de fapt ajunge daca il lasam pe k sa se plimbe intre 0,1,2,3,4,5,6 .
Avem sapte puncte de acumulare diferite, cele ce corespund varfurilor poligonului regulat cu 12 varfuri inscris in cercul de raza unitatea si centrul in 1, dupa proiectia lor pe axa Ox.

(C) Singurul punct de acumulare este 1.
(Deoarece elementele din C luate drept sir "asa cum vin" in definitia lui C tind la 1, fara a egala 1.)

Si totusi multimea A nu are

ca pct de acumulare?
Iar la multimea B ar trebui totusi justificat de ce doar acelea sunt punctele de acumulare, nu si altele.
Si interesant ptr elev ar fi de aratat cum anume s-a ajuns la aceasta multime, cum s-a gandit.

Imi puteti spune va rog care sunt sursele acestor probleme?

Multumesc anticipat.

Va multumesc d-l gauss!
Problemele sunt selectate dintr-un manual de clasa a 11-Burtea(2006-M1)

[Citat] Si totusi multimea A nu are ca pct de acumulare?

Ba da, m-am uitat inca o data pe problema si am vazut ca IR-ul vine barat... Greu de vazut. Multumesc!

[Citat] Iar la multimea B ar trebui totusi justificat de ce doar acelea sunt punctele de acumulare, nu si altele.

Deoarece B-ul se poate sparge in sapte submultimi disjuncte, fiecare dintre acestea este formata din membrii unui sir strict crescator si convergent.

[Citat] Si interesant ptr elev ar fi de aratat cum anume s-a ajuns la aceasta multime, cum s-a gandit.

Toate exemplele se bazeaza pe faptul ca multimea data este formata din membrii unui sir convergent (impropriu) sau este o reuniune finita de astfel de multimi.