Fie m un intreg care nu divide coeficientul dominant al lui

. Aratati ca ireductibilitatea lui f in

implica ireductibilitatea lui f in

.

[Citat] Fie m un intreg care nu divide coeficientul dominant al lui . Aratati ca ireductibilitatea lui f in implica ireductibilitatea lui f in .

N-ar trebui sa mai avem niste morfisme care sa dea sens problemei?

Nu cred! Problema am gasit-o ca o observatie, insa eu as vrea o demonstratie!

[Citat] Nu cred! Problema am gasit-o ca o observatie, insa eu as vrea o demonstratie!

De exemplu

nu are sens ca element in

. Trebuie considerat morfismul

si apoi morfismul indus

.

Din momentul in care totul are sens demonstratia nu este dificila si se face prin reducere la absurd.

Este drept ca specialistii in domeniu vor omite acele morfisme, dar cand suntem in faza de invatare este preferabil sa le mentionam si sa le intelegem.

[Citat] .

Din pacate cel ce a propus problema nu vine din directia geometriei algebrice.
Propozitia este falsa in acceptia normala a notiunii de ireductibilitate.
Dau doar un exemplu:

In ZZ[X] polinomul 3X este reductibil. El are doi factori, 3 si X, care NU sunt unitati. (Acesti factori sunt chiar primi = ireductibili in inelul factorial ZZ[X], dar nu avem nevoie de acest lucru in plus.)

Pur si simplu "dimensiunea aritmetica" a lui ZZ[X] este "dimensiunea aritmetica" a lui ZZ, unu, plus o noua dimensiune care ne vine din luarea inelului de polinoame peste ZZ.

Daca trecem acum MODULO DOI, atunci dam de polinomul ireductibil X. (Cu caciula pe 3=1-ul omis in fata lui X.) Ei bine, 3 devine unitate modulo 2 !
Descompunerea netriviala 3.X din ZZ[X] devine triviala 3.X = 1.X modulo 2, deoarece unul din factori devine unitate.

Problema initiala data ar fi in regula daca autorul s-ar fi legat de un polinom monic. (Autorul a avut doar grija ca gradul sa nu scada.)

Singurul lucru folosit in "demonstratie" este faptul ca avem un morfism de inele

ZZ[X] -> (ZZ/m)[X]

care duce produs in produs, descompunere in descompunere.
(Putea sa ne spuna acest lucru si asa, nu prin impachetare, pentru ca noi sa cautam o obstructie.)

In orice caz, problema foloseste implicit notiunea de (i)reductibilitate in inele aritmetice (sau din geometria algebrica macar) sensibile.

Cum este definita aceasta?

Toata stima, dle gauss!
Dpdv didactic, este OK notatia

deoarece e cea mai simpla posibila, si mai ales, in liceu nu se studiaza grupuri sau inele factor.
Appoi, pe-aici intra 90% elevi de scoala sau liceu. Nu stiu cat ajuta sa-i bagam in ceata cu geometrii algebrice.
Iar explicatiile ar trebui sa fie cat mai scurte posibil. Elevii de azi urasc paragrafele lungi.(profii de mate de pe forum pot confirma).
In liceu nivelul de intelegere al elevului nu este acela al unui absolvent de facultate. Putem sa mai mergem si pe intuitie, etc, nu trebuie sa justificam chiar de la "adam si eva" totul. Un mod de abordare prea teoretic si abstract indeparteaza elevul de matematica!

[Citat] Appoi, pe-aici intra 90% elevi de scoala sau liceu. Nu stiu cat ajuta sa-i bagam in ceata cu geometrii algebrice. Iar explicatiile ar trebui sa fie cat mai scurte posibil. Elevii de azi urasc paragrafele lungi.(profii de mate de pe forum pot confirma). In liceu nivelul de intelegere al elevului nu este acela al unui absolvent de facultate. Putem sa mai mergem si pe intuitie, etc, nu trebuie sa justificam chiar de la "adam si eva" totul. Un mod de abordare prea teoretic si abstract indeparteaza elevul de matematica!

Suntem pe aceasi lungime de unda la o buna parte din afirmatiile de mai sus. Dar ideile acestea nu prea se aplica dupa pararea mea in cazul de fata. Chiar daca pe aici intra in marea lor majoritate elevi de gimnaziu si liceu, problema de fata nu este pentru elevul de liceu de rand. Doar elevii foarte buni de liceu, sau studentii buni de la facultati serioase pot intelege problema.

In plus

- problema are sens doar cand trecem prin acele morfisme pe care npatrat nu le considera necesare.

- enuntul problemei este corect doar cand se redefineste ireductibilitatea eliminand polinoamele de grad 0 din discutie.

In aceste conditii cititorii cu adevarat interesati de problema ar trebui sa incerce sa inteleaga explicatiile lui gauss.

[Citat] Toata stima, dle gauss! Dpdv didactic, este OK notatia deoarece e cea mai simpla posibila, si mai ales, in liceu nu se studiaza grupuri sau inele factor. Appoi, pe-aici intra 90% elevi de scoala sau liceu. Nu stiu cat ajuta sa-i bagam in ceata cu geometrii algebrice. Iar explicatiile ar trebui sa fie cat mai scurte posibil. Elevii de azi urasc paragrafele lungi.(profii de mate de pe forum pot confirma). In liceu nivelul de intelegere al elevului nu este acela al unui absolvent de facultate. Putem sa mai mergem si pe intuitie, etc, nu trebuie sa justificam chiar de la "adam si eva" totul. Un mod de abordare prea teoretic si abstract indeparteaza elevul de matematica!

Toata stima de asemenea! Multumesc pentru parere!

Incerc sa ma apar.
Cer scuze pentru modul irascibil in care doresc sa propag notatia pe care o consider mai buna. Inca cred ca notatia ZZ / m - citita ZZ modulo m - este cea buna. Problema cu notatia este coliziunea cu notatia internationala pentru intregii p-adici. Lucrurile devin complicate in secunda in care un elev trece de pragul liceului, face matematica si deschide o carte in limba engleza. Sau tine o prelegere in fata unui public de altundeva. Necesitatea de a muta tot timpul macazul strica mult din concentrarea pe esential in prelegere.

Apoi solutia scurta este urmatoarea.

(Nu stiu ce se poate intelege de aici. Continuarea este in cel mai bun caz o discutie asupra faptului ca 3X este ireductibil sau nu ca element in ZZ[X]. Am considerat ca nu ajuta doar atat.)

In cazul de fata, unde am lucrat prea teoretic si abstract?
Va rog sa incercati sa dati raspunsul corect la problema propusa, fara a deveni prea teoretic si abstract. Eu voi juca rolul elevului care pune intrebari la fiecare lucru (de) neinteles (la nivel de liceu).

O prima intrebare am pus-o deja: Ce este un polinom ireductibil in ZZ[X] ?

Nu cred ca adaptarea unor notatii e o problema pentru cineva pasionat de matematica. Daca vrei sa stii notatiile "internationale" in 30 secunde le gasesti pe wikipedia.
Apoi, ireductibilitatea se defineset in liceu doar la polinoame cu coeficienti intr-un corp.
In

, unde m nu e numar prim, iti cam prinzi urechile la ireductibilitate, daca folosesti definitia din manual.
Spre exemplu, in

,

este sau nu polinom ireductibil? Ce inseamna polinom ireductibil in Z_4[X]??
Definitia de "manual" a polinomului ireductibil este urmatoarea:
"f din K[X] se numeste ireductibil peste corpul K, daca nu se poate scrie f=gh, unde gradg<gradf si gradh<gradf". Sau echivalent, g si h polinoame neconstante.
Deci asta nu merge nici macar in Z[X], ca Z nu-i corp. NU mai vorbesc de Z_4[X].
Si totusi, in acelasi manual, e data problema de mai sus, cu polinomul X^4+1 in Z_4[X]. Ce ziceti de acest mod de a "face matematica"??

In cazul de fata, dupa cum ati aratat, proprietatea, asa cum e formulata, este falsa. Nu stiu daca se merita sa o "remediem".
Iar dvs ce faceti, veniti si intrebati elevul de liceu despre definitii care se studiaza la facultate? Pai scoateti-l din ceata, nu-l bagati si mai mult.

Cred ca suntem de aceeasi parte!

Daca definitia (i)reductibilitatii este data in *manual* doar pentr un inel de forma k[X] cu k corp, apoi se cere studierea acestui aspect in ZZ[X], este rau rau pentru acel manual.

In cazul de fata nu am stiut care este provenienta problemei, am banuit ca vine din una dintre multele carti de popularizarea teoriei numerelor. Intrebarea am pus-o pentru cel ce a plasat problema pentru a deveni constient faptul ca situatia aritmetica este complicata. Problema nu este una de liceu. (Cu atat mai mult cu cat ea depinde de definitii delicate. Intelegerea definitiei este de cateva ori mai compliata decat rezolvarea problemei. Se merita inteleasa, deoarece nu depinde de notiuni complicate, dar fara context si posibilitatea de a progresa sistematic in domeniu probabil ca se lasa mult astepatata rasplata. E doar un mic joc intelectual o buna bucata de vreme.)

Toate cele bune!

[Citat] Cred ca suntem de aceeasi parte! Daca definitia (i)reductibilitatii este data in *manual* doar pentr un inel de forma k[X] cu k corp, apoi se cere studierea acestui aspect in ZZ[X], este rau rau pentru acel manual. In cazul de fata nu am stiut care este provenienta problemei, am banuit ca vine din una dintre multele carti de popularizarea teoriei numerelor. Intrebarea am pus-o pentru cel ce a plasat problema pentru a deveni constient faptul ca situatia aritmetica este complicata. Problema nu este una de liceu. (Cu atat mai mult cu cat ea depinde de definitii delicate. Intelegerea definitiei este de cateva ori mai compliata decat rezolvarea problemei. Se merita inteleasa, deoarece nu depinde de notiuni complicate, dar fara context si posibilitatea de a progresa sistematic in domeniu probabil ca se lasa mult astepatata rasplata. E doar un mic joc intelectual o buna bucata de vreme.) Toate cele bune!

De acord cu dvs! La multi ani si multe realizari!
Faceti o treaba foarte buna ajutand elevii/studentii pe aici.