buna,am niste probleme la calculul naturii unor serii,daca se poate doar sa ma ajutati:suma algebrica de la n=1 la plus infinit din ln(1+1pe n),si inca o serie careia trebuie sa ii stabilesc natura este suma algebrica de la n=2 la plus infinit din ln(1+1pe n la puterea a doua)multumesc.

[Citat]

In primul caz se poate chiar calcula termenul general (al sirului subiacent seriei date).
Avem ceva de forma ln(2/1) + ln(3/2) + ... + ln( (n+1)/n ) .
Care este valoarea sumei de mai sus? Care este comportamentul seriei?

Pentru al doilea punct banuiesc deja convergenta deoarece stiu care este dezvoltarea Taylor a lui ln(1+x) pentru x "pe langa zero". (Polinomul Taylor de ordin unu ajunge pentru ambele exercitii!)

Sa demonstram mai intai 0 < ln(1+x) < x pentru orice x>0.
Aplicam exp pe cele de ai sus, dam de 1 < 1+x < exp(x). Este o inegalitate cunoscuta, se poate obtine prin varul mai sarac (de grad I) al lui Taylor, Lagrange.

Atunci putem incadra termenul general al celei de-a doua serii intre
0 si 1/n² . Seria suma(0) converge. Seria suma( 1/n² ) converge (la pi²/6) .
Deci seria a doua converge (la ceva intre 0 si pi²/6).

Pentru prima serie, daca ne facem ca nu stim sa ii calculam termenul general avem nevoie de o inegalitate "pe partea cealalta". De exemplu ln(1+x) > x/2 pentru x suficient de mic...

am calculat folosind proprietatile logaritmilor si am ajuns la ln(n+1)acum incerc sa ii calculez limita,si in cazul al dooilea sa dezvolt dupa formula lui taylor si sa ma opresc la prima dezvoltare

[Citat] am calculat folosind proprietatile logaritmilor si am ajuns la ln(n+1)acum incerc sa ii calculez limita,si in cazul al dooilea sa dezvolt dupa formula lui taylor si sa ma opresc la prima dezvoltare

ln(n+1) converge (impropriu) desigur la +oo .
Deci prima serie este divergenta.

La al doilea punct ajunge sa vedem (prin intelegerea pe care ne-o ofera dezvoltarea Taylor, apoi rafinand argumentul) ca are loc inegalitatea

Am mentionat acel Taylor dintr-un motiv didactic.
Se pare ca toate problemele care sunt propuse de catre "sursa" acestor serii se transeaza usor daca se intelege asimptotica "polinomiala" (folosind dezvoltarea Taylor de ordin mic) pentru anumite "bucati" din problema.